Crux 1975 Problem - 14 Üçgen Eşitsizliği

Question

Problem 14: Bir üçgenin üç kenarının uzunlukları $a$, $b$, $c$ ise $\dfrac{1}{a+c}$, $\dfrac{1}{b+c}$, $\dfrac{1}{a+b}$ uzunluklarının da bir üçgen oluşturacağını gösteriniz.

Answer 1

Çözüm:

Simetriden sadece $\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b}$ olduğunu göstermek yeterlidir. Bu önermeye denk önermeler yazarak ilerleyelim:

$\iff \dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+b}>0$ 

$\iff  \dfrac{(b+c)(a+b)+(a+c)(a+b)-(a+c)(b+c)}{(a+c)(b+c)(a+b)}>0$

$\iff  (b+c)(a+b)+(a+c)(a+b)-(a+c)(b+c)>0$

$\iff b^2 + ab + ac + bc + a^2 + ab + ac + bc - c^2 - ab - ac - bc >0$

$\iff b^2 + ab + ac + bc + a^2 - c^2 >0$

$\iff b^2 + a^2 + ab + c(a + b - c)>0$

elde edilir. Son eşitsizlik doğru olduğundan, geriye doğru çalışırsak $\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b}$ buluruz.