Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
450 kez görüntülendi

Problem (Viktors Linis): $k$, $\ell$ pozitif tam sayılar olmak üzere $36^k -5^{\ell}$ ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değer kaçtır?

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 450 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Her $k,l\in\mathbb{N}^+$ için

$36^k-5^l\equiv1^k\equiv 1\mod 5$

$36^k-5^l\equiv -1^l\equiv3\mod 4$ olur.

Çin Kalan Teoreminden

$36^k-5^l\equiv 11\mod 20$ olacaktır.

Bu da (  $36^k-5^l>0$ koşulundan dolayı)

$36^k-5^l\in\{20n+11:n\geq0\}=\{11,31,51,71,\ldots\}$ olması demektir.

Bu nedenle ($36^k-5^l>0$ ise) $36^k-5^l\geq11$ olur.

 $36^1-5^2=36-25=11$ olduğu için $36^k-5^l$ nin alabileceği en küçük pozitif değer $11$ dir.
(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Çözüm için teşekkür ederim değerli hocam. Benzer bir yolla çözüm ekleyeceğim ben de.
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözüm 2:

 

Her $k, \ell $ pozitif tam sayısı için

$36^k \equiv 6^k \equiv 6 \pmod{10}$ ve $5^{\ell} \equiv 5 \pmod{10}$ olduğundan $ 36^k -  5^{\ell} \equiv 1 \pmod{10}$ olur. Böylece  $36^k -  5^{\ell}$ ifadesinin $10n +1$ formunda bir pozitif tam sayı olabileceğini anlarız.

 

En küçük değer için $n=0$ denenirse $ 36^k -  5^{\ell}=1$ için çözüm aramalıyız. $ 36^k - 1 = 5^{\ell}$ olup iki kare farkından $ (6^k +1)(6^k-1)=5^{\ell}$ olur. 

$6^k +1=5^a$, $6^k -1=5^b$, $a+b=\ell$, $a>b$ olacak biçimde $a, b \in \mathbb N $ olmalıdır. Fakat buradan $5^a - 5^b =2$ çelişkisi bulunur.

 

O halde en küçük değer için $n=1$ verelim. $ 36^k -  5^{\ell}=11$ denklemini sağlayan $k=1$, $\ell = 2$ değeri vardır.

 

 

Ek Soru: $ 36^k -  5^{\ell}=11$ denkleminin $k=1$, $\ell = 2$ değerlerinden başka pozitif tam sayılarda çözümü var mıdır?

 

Çözüm: $ 36^k -  5^{\ell}=11$ denkleminini $\mod 6$ da incelersek $(-1)^{\ell} \equiv 1 \pmod{6}$ olup buradan $\ell = 2m$ biçiminde pozitif çift tam sayı olmalıdır. Böylece $ 36^k -  5^{2m}=11$ olup iki kare farkı özdeşliğinden $ (6^k +5^m)(6^k-5^m)=11$ yazılır. Yalnızca

$$ \begin{array}{lcl} 6^k +5^m&=&11 \\ 6^k - 5^m &=&1 \\ \end{array} $$

durumu mümkün olup denklemler alt alta toplanırsa $2\cdot 6^k =12$ bulunur. Buradan tek çözüm $k=1$, $\ell = 2$ elde edilir.

(2.6k puan) tarafından 
20,239 soru
21,759 cevap
73,398 yorum
2,062,744 kullanıcı