İntegraller İçin Üçgen Eşitsizliği

Question

Birçok klasik eşitsizliğin integraller için verilmiş formları vardır. Sanırım bunlardan en temeli üçgen eşitsizliğidir.

Üçgen Eşitsizliği:  $x,y \in \mathbb R$ ise $|x+y| \leq |x| + |y|$ dir.

İntegraller İçin Üçgen Eşitsizliği: $f:[a,b] \to \mathbb R$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında integ­rallenebilir olsun. Bu durumda $$\left| \int_{a}^{b} f(x)dx \right| \leq \int_{a}^{b}\left|f(x) \right| dx$$ olur.

Bunlar birbirine pek benzemedi değil mi? Biz integraller için üçgen eşitsizliğini ispatlayalım.

İpucu: Klasik üçgen eşitsizliğimiz, integral formundaki eşitsizliğin ispatında belki lazım olur. (Yoksa sadece isim benzerliği mi var?)

Comments

İntegral için üçgen eşitsizliği  $\left |\int_a^b(f(x)+g(x))dx\right|\leq \left |\int_a^bf(x)dx\right|+\left |\int_a^bg(x)dx\right|$  ya da 

$\int_a^b\left|f(x)+g(x)\right|dx \leq \int_a^b\left|f(x)\right|dx+\int_a^b\left|g(x)\right|dx$  olsa gerek.

Answer 1

İntegraller İçin Üçgen Eşitsizliği: $f:[a,b] \to \mathbb R$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında integ­rallenebilir olsun. Bu durumda $$\left| \int_{a}^{b} f(x)dx \right| \leq \int_{a}^{b}\left|f(x) \right| dx$$ olur.

İspat: $a_1, a_2, \dots ,a_n$ gerçel sayıları için $$| a_1+a_2 + \dots + a_n | \leq |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|$$ üçgen eşitsizliğini biliyoruz. (Klasik üçgen eşitsizliğine tümevarım uygulanarak ispatlanabilir. Meraklılarının bunu denemesinde fayda var.) 

$[a,b]$ aralığının bir parçalanışı $[x_0,x_1], [x_1,x_2], \dots , [x_{n-1}, x_n]$ ve $|P|=\max \{ x_i - x_{i-1} : i=1,2,\dots , n \}$ olsun. Her $i=1,2,\dots , n$ için bir $x_i' \in [x_{i-1},x_i]$ noktası alarak $$\sum_{i=1}^{n}f(x_i')(x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n}f(x_i')\Delta x_i$$ Riemann toplamını oluşturalım. Üçgen eşitsizliğinden, limit özelliklerinden ve $f$ integrallenebilir iken $|f|$ nin de integrallenebilir oluşundan $$\left| \int_{a}^{b} f(x)dx \right| = \left| \lim_{|P|\to 0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i')\Delta x_i \right| \leq \lim_{|P|\to 0} \sum_{i=1}^{n} \left |f(x_i') \right |\Delta x_i =  \int_{a}^{b} \left| f(x) \right| dx$$ elde edilir.

Birçok eşitsizliğin geometrik yorumunu vermekte, öğretme yöntemi bakımından büyük yarar var. Biz de bu kısmı pas geçmeyelim. Çok temel bir gerçekten hareket edilerek bu eşitsizlik elde edilmiştir.

Geometrik Yorumu: $f$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseninin sınırladığı bölgelerden; $x$ ekseninin üstünde kalan alanların toplamı $A_1$, $x$ ekseninin altında kalan alanların toplamı $A_2$ olmak üzere  $$\left| \int_{a}^{b} f(x)dx \right| = |A_1-A_2|$$ ve $$\int_{a}^{b}\left|  f(x) \right| dx = A_1+A_2$$ olup integral eşitsizliği, $$|A_1-A_2| \leq A_1 + A_2$$ alan eşitsizliğine denktir.

Answer 2

Yorumunuz için teşekkürler Mehmet Bey. Verdiğiniz eşitsizliklerin ispat adımlarında klasik üçgen eşitsizliği kullanıldığı için bunlara da integraller için üçgen eşitsizliği diyebiliriz. Bunların da ispatlarını aynı başlık altında sunalım. Bu başlıkta kullandığımız tüm fonksiyonların $[a,b]$ aralığında integrallenebilir olduğu kabulü ile işlemlere devam edeceğiz. 

Yazdığınız ilk eşitsizlik, klasik üçgen eşitsizliğinin doğrudan bir sonucu oldu. İspatını şöyle verebiliriz: $|x+y| \leq |x| + |y|$ üçgen eşitsizliğinde $x$ yerine  $$\int_{a}^{b}f(x)dx$$ $y$ yerine de  $$\int_{a}^{b}g(x)dx$$ yazılırsa, $$\int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{a}^{b}g(x)dx = \int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx$$ lineerlik özelliğini de kullanarak

$$\left| \int_{a}^b (f(x)+g(x))dx \right| = \left| \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{a}^{b}g(x)dx\right| \leq  \left| \int_{a}^{b}f(x)dx \right| + \left| \int_{a}^{b}g(x)dx  \right|$$

bulunur.

Diğerine bakalım:  $|x+y| \leq |x| + |y|$ üçgen eşitsizliğinde $x$ yerine $f(x)$, $y$ yerine de $g(x)$ yazılırsa $|f(x)+g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)|$ olup  $$\int_{a}^{b} |f(x) + g(x)| dx \leq \int_{a}^{b} \left(|f(x)| + |g(x)|\right) dx = \int_{a}^{b} |f(x)| dx + \int_{a}^{b} |g(x)|dx$$  elde edilir.

Ayrıca bu son adımda her $x\in [a,b]$ için $h(x)\leq k(x)$ ise $$\int_a^{b}h(x)dx \leq \int_a^{b}k(x)dx$$ eşitsizliğini de ispatsız olarak kullanıyoruz. (Konunun meraklılarının bu eşitsizliği de alıştırma olarak ispatlamalarında fayda var.)

Soruda verdiğimiz eşitsizliği henüz ispatlamadık. Bununla ilgili yorum ya da çözümlerinizi ekleyebilirsiniz. Bir çözümüm var, ben de bir süre sonra ekleyebilirim. İyi çalışmalar ...

Comments

$|f(x)|$ in $[a,b]$ aralığında integrallenebildiğini de göstermek gerekir.

---

Teorem: $f:[a,b]\to \mathbb R$ integrallenebilir ve $g: \mathbb R \to \mathbb R$ sürekli bir fonksiyon ise $(g \circ f): [a,b] \ \to \mathbb R$ integrallenebilir bir fonksiyondur.

Burada $g(x)=|x|$ sürekli fonksiyonunu alırsak, teoreme göre $|f(x)|$ de integrallenebilir olur.

Bu şekildeki bir açıklama kabul edilir mi Doğan hocam? Daha farklı şeyler denememiz mi beklenir? Ült ve alt Riemann toplamlarının farkı olan $U(f,P) - A(f,P)< \epsilon$ iken $U(|f|,P) - A(|f|,P)< \epsilon$ olduğunu göstermeye çalışmak daha zor gibi duruyor. (Belki de kolaydır, emin değilim.)

---

O şekilde görülebileceği gibi daha basitçe (aslında o teoremdeki mantığını kullanarak) şöyle de görülebilir:

Üçgen eşitsizliğinden ($\forall x,y\in\mathbb{R}$ için):

$||x|-|y||\leq|x-y|$ dir.

Bundan, 

$||f|(x)-|f|(y)|\leq|f(x)-f(y)|$ elde edilir. Burada da 

($m_i=\inf\{f(x):x\in[x_{i-1},x_i]\},\ M_i =\sup\{f(x):x\in[x_{i-1},x_i]\}$,

$m'_i=\inf\{|f(|x):x\in [x_{i-1},x_i]\},\ M'_i= \sup\{|f|(x):x\in[x_{i-1},x_i]\}$ için 

($\sup$ ve $\inf$ tanımları ile

$M'_i-m'_i\leq M_i-m_i$ elde edilir. (Bunları $\Delta x_i$ ler ile çarpıp toplayarak)

 Burada da, bir $P$ için $U(f,P)-A(f,P)<\varepsilon$ ise $U(|f|,P)-A(|f|,P)<\varepsilon$ bulunur. 

Bu da $f$ (bir $[a,b]$ aralığında) integrallenebiliyor ise  $|f|$ de (aynı $[a,b]$ aralığında) integrallenebiliyor demektir.