$a^{6}=1$ ve $ab=ba^{2}$ olduğu biliniyor.$a^{2}=1$ olduğunu gösterin

Question

Soru başlığını daha da uzatmamak adına yazmadığım ve gösterilmesi istenilen bir şey daha var.

$a^{6}=1$ ve $ab=ba^{2}$ olduğu biliniyor.$a^{2}=1$ ve $ba=ab$ olduğunu gösterin.

Sol tarafa yazdıklarımı bildiğimiz için onlarla işlem yaptım.  

$ab=ba^{2}$  (soldan $a^5$ile çarpıp bir şeyler bulmaya çalıştım olmadı sağdan $a^4$ ile çarpıyım dedim yine bir şey bulamadım.) Ne yapmalıyım ?

Comments

Soruyu nasıl çözebileceğine dair bir fikrim yok ama:

Eğer $ab = ba^2$ ise ve $a^2 = 1$ ise $ab = b$ olur. Bu da $a= 1$ olduğunu söyler. Demek ki eğer soruyu doğru yazdıysan sonuç olarak $a^2 = 1$'den daha kuvvetli olan $a = 1$ sonucunu elde edebilirsin.

---

Aslına bakarsan sana bir soru: Öğrendiğin ilk grup örneği neydi?

---

Nasıl bir yapıda çalışıyorsunuz?

---

Ozgur hocam , $a^2 = 1$ olduğunu bilmiyoruz onu göstermemizi istiyor.

---

Yasin hocam , soru net olarak yazdığım gibi özel bir şey kastetmemiş.

---

$a^2 = 1$ olursa $a = 1$ de olur diyorum ben de. 

Yasin Şale de bu bir grup teori sorusu mu diye soruyor.

Ben grup teori sorusu olarak görerek devam edeyim. Sana sorduğum şu soruya cevap verebilir misin:

$6$ elemanlı, değişmeli olmayan bir grup örneği verebilir misin? 

Buradan devam edelim.

---

$S_{3}$ diyebilirim.

---

Çok güzel. $S_3$'ün elemanlarını yazar mısın?

---

$S_{3}=\left\{ 1,\left( 12\right) ,\left( 13\right) ,\left( 23\right) ,\left( 123\right) ,\left( 132\right) \right\}$

---

hocam yoksa bu $D_{3}$ mü ? 

---

Tamam. Şimdi $a = (123)$ olsun ve $b = (12)$ olsun.

1. $a^6 =1$ mi?
2. $ab = ba^2$ mi?

• $a^2 = 1$ mi?
• $ab = ba$ mı?

---

$a^3 = 1$ o zaman $a^6=1$ sağladı.

$(123)(12) = (13)$ , 

$a^2 = (132)$ , $ba^2 = (12)(132) = (13)$ 

Eşitlik sağlandı.

$a^2 \neq  1$ ve grup abel değil $ab=ba$ dan söz edemeyiz.

---

Demek ki kanıtlamak istediğin şey doğru değil :)

---

hocam , siz başta değişmeli grup olmasın ve mertebesi 6 olmasını istediniz başka bir grup örneği bulabilme ihtimalim yok mudur ? $D_{3}$ mesela. 

---

1. $D_3$ ile $S_3$ izomorfiktir.

2. Önermedeki koşulları (hipotez(ler)i) sağlayan ama sonucu sağlamayan bir örnek, önermenin yanlış olması için yeterlidir.