Dört işlem kullanılarak oluşturulan bir denklemin iki varyasyonunun farklı sonuçlar vermesi

Question

500₺ paramız var. 1. Gün 200₺ harcıyoruz. 300₺ paramız kalıyor. İkinci gün 150₺ daha harcıyoruz ve 150₺ kalıyor. Üçüncü gün 90₺ daha harcayınca 60₺ kalıyor. Son gün de kalan 60₺ harcayıp parayı bitiriyoruz. Şimdi giden paraları toplayınca 200+150+90+60=500 ama kalan paraları toplayınca 300+150+60=510 oluyor. Bunun sebebi nedir?

Comments

ilk 500 ü neden toplamadın ,oda elindeki ilk kalan para  ?

---

Çünkü o ana para. Yani bütün olay onun içinde oldu zaten. 

---

0 lira harcarsan 500 liran kalır :S

---

O güne 0₺ ile başlamış oluyoruz zaten

---

paramız var ama

---

Kalanların toplamı anaparaya eşit olmak zorunda mı ki? Bazen kulağa doğru gelen şeyler yanlış olabiliyor. Ya da tersten şöyle sorabiliriz. Kalanların toplamı anaparaya ne zaman eşit olur?

Toplam para $A$, her adımda çıkarılan para $a_k$, her adımda kalan para $R_k$ olsun; tanım itibariyle $R_k=A-a_1-a_2-...-a_k$. Burada $k$ adımın numarasını gösteriyor. O zaman, kalanların toplamını şöyle yazabiliriz:

$$\sum\limits_{k=1}^{N}R_k=\sum\limits_{k=1}^{N}(A-\sum\limits_{i=1}^{k}a_k)=\sum\limits_{k=1}^{N}ka_k-A$$ elde ediliyor. Bu $A$'ya eşit midir?

---

Teşekkür ederim, gayet açıklayıcı olmuş

---

Kalan paralar toplanarak ana paraya her zaman erişilemez.Bunun olması için o gün harcanan paranın kalan paranın yarısı olması gerekir. Sebebini açıklamak yerine kolay bir örnek vereyim.
500 TL paramız olsun.
1. gün 2 TL harcayalım (498 TL kaldı)
2. gün 3 TL harcayalım (495 TL kaldı)
3. gün 495 TL harcayalım (0 TL kaldı)
harcanan paraları toplarsak ana paraya ulaşırız
2+3+495=500
Günlere ayrılmış kalan paraları toplayalım
498+495+0=993
Bu şekilde küçük harcamalar yapıldığı varsayılırsa Kalan paraların toplamının sonsuz olduğu bir durum düşünülebilir. (Tabii, eğer ölümsüz birinin para harcamasından bahsediyorsak)Mesela her gün 1 kuruş harcayan birinin 50.000 gün boyunca harcama yaptığını düşünürsek (136 yıl eder) kalanlar toplamı çok büyük çıkar.

Harcanan para hep kalan paranın yarısı olursa istenilen durum sonsuz günde sağlanabilir yani gerçek hayatta sağlanamaz.
500 TL paramız olsun
ilk gün 250 TL harcayalım (250 TL kaldı.)
2. gün 125 TL (125 TL kaldı)
3. gün 62,5 TL harcayalım (62,5 TL kaldı)
...
Ve böyle ikiye bölünmeye devam eder (sonsuza dek)
Umarım açıklayıcı olmuştur.

---

Gerçekten gayet açıklayıcı ve anlaşılır olmuş, teşekkür ederim

---

Özür dilerim. Yazdıklarımdan istenilen durumun sağlanması tek bir yolla olur gibi anlaşılıyor. Bu hatam için özür dilerim. Kalanların toplamının ana parayı vermesi birden fazla yolla sağlanabilir. Ve bu yollar sonlu da olabilir. 
500 TL paramız olsun ve
ilk gün 100 TL harcayalım 400 TL kaldı
ikinci gün 300 TL harcayalım 100 TL kaldı
üçüncü gün ise parayı bitirelim.
kalanlar toplamı harcananlar toplamına eşit oldu ve kalanların toplamı yine ana parayı verdi. Yani birden fazla çözüme ulaşılabilir.