Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
85 kez görüntülendi

Bir otomobil $\overrightarrow {r_{1}}$ $=$  $L_{1}\widehat {y}$ $(L_{1}>0)$ yer vektörü ile, diğer bir ikinci otomobil ise $\overrightarrow {r_{2}}=L_{2}\widehat {x}$ yer vektörü ile verilmiş olup, bulundukları konumda dinlenme pozisyonundadırlar. 

$t=0$ anında, otomobil $1$  ; $\overrightarrow {a_{1}}=c_{1}\cdot t^{3}\cdot \widehat {y}$ ivmesine, otomoboil $2$ ;  $\overrightarrow {a_{2}}=a_{2}\widehat {x}$ sabit ivmesine sahiptir. 

İki otomobilin çarpışması için $\overrightarrow {a_{2}}$' nin büyüklüğü ne olmalıdır?

Bu soru aslında ders notları içindeki çözümlü bir örnekti, otomobil 1 için önce ivmenin integrali ile hıza, hızın integrali ile aldığı yol hesaplanarak bu yol aynı işlemler otomobil 2 için uygulanıp aldıkları yollar eşitlenmiş. Neden böyle yapıldığını ve otomobil 1 için alınan yol hesabındaki işlemleri anladım. Anlamadığım kısım Otomobil 2'nin aldığı yolun bulunması.


Lisans Teorik Fizik kategorisinde (132 puan) tarafından  | 85 kez görüntülendi

Aradığınız şey iki aracın buluşmasıyla ilgili olduğundan, ikisinin de konum vektörünü bulmanız gayet doğal değil mi? Buluşma/çarpışma iki cismi ilgilendirir.

Diğer taraftan, aldıkları yollar eşitlenemez. Bu yanlış olur. Zira birisi orijine $L_1$, diğeriyse $L_2$ kadar uzakta harekete başlıyor. Doğrusu, konumların (vektörlerinin) eşitlenmesi olmalı. Çarpışma için ikisinin aynı yolu alması gerekmez; ikisinin aynı konumda bulunması gerekir (ve yeter).

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
İki cisim herhangi bir $t$ anında çarpışıyorsalar o $t$ anında aynı yerdedirler.

Soru özelinde ise $\vec{r_1}= L_{1}\widehat {y}$ ve $\vec{r_2}= L_{2}\widehat {x}$ vektörleri,

 $\widehat {x}$ ve $\widehat {y}$ gibi iki $\perp$  dik vektör ve kendi doğrultularında

$\vec{a_1}= c_{1}. t^3 \widehat {x}$

ve

$\vec{a_2}= a_{2} \widehat {y}$

olduğu için iki $\perp$ vekör orjin $(0,0)$ çarpışacatır.

O halde çapışma anına $t=T$ diyerek,

$\vec{a_1}= c_{1}. t^3 \widehat {y}$

ve

$\vec{a_2}= a_{2} \widehat {x}$ yi $t$ ye göre iki kere integrallerini alıp iki integrali de $0$ a eşitlememiz yeterli olacaktır.

$\vec{v}_1 (t) = \int \vec{a_1}(t) dt  $

$\vec{v}_1 (t) = \int c_{1}. t^3  dt \widehat {y}$

$\vec{v}_1 (t) =  [ \dfrac {c_{1}}{4} . t^4  + \vec{v}_{01}] \widehat {y} $

ve benzer şekilde

$\vec{v}_2(t) = \int  \vec{a_2}(t) dt $

$\vec{v}_2(t) = \int  \vec{a_2} dt \widehat {x} $

$\vec{v}_2(t) =  [\vec{a_2} t +  \vec{v}_{02}] \widehat {x} $

sonuçları elde ederiz. Cisimler başlangıçta dinlendiklerinden ilk hızlar

$\vec{v}_{01} = 0$

ve

$\vec{v}_{02} = 0$

olduğundan hız vektörleri

$\vec{v}_1 (t) =  \dfrac {c_{1}}{4} . t^4   \widehat {y} $

$\vec{v}_2(t) =  \vec{a_2} t  \widehat {x} $

olurlar.

Hız vektörlerinin de $t$ ye göre integrallerini alarak

$\vec {r}_1 (t) = \int \vec{v}_1 (t) dt $

$\vec {r}_1 (t) = \int \dfrac {c_{1}}{4} . t^4     dt \widehat {y} $

$\vec {r}_1 (t) =  [ \dfrac {c_{1}}{20} . t^5  +  L_1 ] \widehat {y} $

ve

$\vec {r}_2 (t) = \int \vec{v}_2 (t) dt $

$\vec {r}_2 (t) = \int \vec{a}_2 t dt \widehat {x} $

$\vec {r}_2 (t) = [\dfrac {\vec{a}_2}{2}  t^2  + L_2 ] \widehat {x} $

olarak hesaplanır.

$t=T$ anında

$\vec {r}_1 (T) = \dfrac {c_{1}}{20} . T^5  +  L_1 = 0$ dan

$T =  \sqrt[5]{\dfrac{- 20{L_1}}{c_1}} $ olur.

$\vec {r}_2 (t) = \dfrac {\vec{a}_2}{2}  T^2  + L_2 = 0 $

dan

$\dfrac {\vec{a}_2}{2} \sqrt[5]{   400 (\dfrac{{L_1}}{c_1})^2    }  + L_2 = 0$

ve buradan $|\vec{a}_2| = 2 L_{2} \sqrt[5] {  (\dfrac{{c_1}}{ 20 L_1})^2   }  $  olarak hesaplanır.
(111 puan) tarafından 
18,095 soru
20,670 cevap
66,461 yorum
18,774 kullanıcı