Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
280 kez görüntülendi
Tam nasil ifade edecegimden emin degilim. Mantikli bir soru mu onu da bilmiyorum.

Ben bu evrende bir yonde hareket ederken tum atomlarim ayni yonde yonde hareket ediyor. Paralel dogrularin arasindaki uzaklik sabit kaldigi icin hareket ettigim zaman atomlarim arasindaki uzaklik ayni kaliyor.

Ama yasadigimiz evren uzamsal olarak kuresel yada hiperbolik olsaydi isler degisecekti. Atomlarimi paralel hareket ettirmeye calistigimda kuresel uzayda atomlar birbirine yaklasacak ve hatta bir noktada hepsi tek bir noktada kaynasacak, hiperbolik uzayda ise atomlarim arasindaki uzaklik exponensiyel olarak artacakti.

Kati cisimleri manifoldlarda hareket ettirme fikrini yakalayan bir islem var mi?

Mesela manifoldun kapali baglantili bir alt kumesindeki her noktayi $d$ kadar iteleyip yeni bir kume elde etsem ve o kumelerin "hacminin" orjinal kumeyle ayni olmasini istesem bu iteleme neye benzerdi gibi sorabilir miyim bu soruyu?
Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 280 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir fizikçi cevabı vereceğim, daha geometrik bir resim çizecek bir cevap çıkarsa çok sevinirim. Aradığın hesaplama jeodezik sapma denklemleri ile yapılabilir. [1]

Genel Göreliliğin temelinde yatan önemli fikir, cisimlerin birbirine kuvvet uygulamadığı ama eğri uzay-zamanda serbestçe hareket ettikleriydi. Bir eğride hareket eden iki cisim birbirine yaklaşıyorsa biz bunu birbirlerini çektikleri şeklinde yorumluyoruz, ama kulağı tersten tutarsak birbirine yaklaşan veya uzaklaşan jeodeziklerin birbirine "kuvvet" uyguladıklarını ve dolayısıyla "ivme"lendiklerini söyleyebiliriz. Eğer uzay-zaman çokkatlıları için konuşuyorsak, buna "yerçekimsel gelgit kuvvetleri" deniyor ve etkisini Dünya - Ay arasındaki bildiğimiz gelgitten tutun, kara deliklerin merkezine düşerken gerçekleşen spaghettileşme etkisine kadar birçok yerde gözlemlemek mümkün. Tamamen uzay-zaman geometrisinin bir sonucu.

Yaşadığımız evrenin (3 uzay boyutu için) eğri olup olmadığını aslında hala bilmediğimizi duymak başta sürpriz gelebilir belki - bu sayfada anlatılanları okuyabilir ilgilenenler. Einstein denklemlerinin biz gözlemcilere uzayda her yönde aynı gibi görünen çözümleri, FLRW metriği ile tarif edilebilir. Sıkça duyduğumuz "genişleyen evren modeli" basitçe bu metrğe sahip 3+1 boyutlu bir (sözde-Riemannyen) çokkatlıdır. Bu evrende seçtiğimiz herhangi bir $t$ anında içinde olduğumuz 3-d uzay düz, pozitif veya negatif eğrilmiş olabilir; bunu FLRW metriğindeki genelde $k$ adlandırılan parametre ile temsil ediyoruz. Günümüz ölçümleri $k \approx 0$ olduğunu işaret etse de, uzayın düz olmadığı bir evreni hayal etmek çok güç değil.

Bir başka meşhur çözüm olan kara delikler, yani Schwarzschild çözümü de, genel düşüncenin aksine aslında küresel simetrisi olan bütün cisimlerin çekim alanını tarif edebilen bir çözümdür. Bizim gibi çok çok uzaktaki gözlemciler için, çapı 3 km bir karadelik ile yıldızımız Güneş arasında, bize olan etkileri açısından hiçbir fark yok. Dolayısıyla Schwarzschild metriğine $r_s = 3 \text{ km}$ yerleştirirsek, Dünyanın bulunduğu noktada uzayın aslında düz değil eğri olduğunu (uzun bir ödev: metriği kullanarak Riemann tensörünü ve ilgili skaler eğrilikleri hesaplayıp sıfır olmadığını gösterin) ve bunun ne kadar jeodezik sapmaya yol açacağını hesaplayabiliriz. Örneğin güneş tam tepedeyken baş ve ayak ucundaki iki noktanın uzay-zamanda çizeceği jeodezikler, deminki sebepten ötürü kesin ki birbirlerinden sapacaklar ve aralarındaki mesafe değişecek!

Buna şaşırdıysanız, aslında şaşırmamanız gerektiğine şaşırmalısınız. Çünkü zaten Newton fiziği ile daha sıkıcı bir açıklaması mevcut: Baş ve ayaklarımız Güneş tarafından farklı kuvvetlerle çekiliyor (neden?) ve bu durum bizim ve aynı doğrultudaki başka nesnelerin boylarını uzatma eğiliminde. Şükür ki atomlarımız birbirine yeterince sıkı bağlı ve bu bizim gibi "katı" cisimlerin boylarını gözle görülür ölçüde etkileyemiyor. Bir soruyla bitireyim: Peki ya aynı soruyu gezegenimizin neredeyse tamamını oluşturan sıvı için sorsaydık?

[1] Bu sapmayı temel alarak yazılmış ve soruya daha detaylı cevap veren Raychaudhuri denklemi de işe yarabilir.

(145 puan) tarafından 
20,194 soru
21,723 cevap
73,246 yorum
1,857,648 kullanıcı