Okudugum kitapta uc farkli tanjant uzayi tanimi verilmis ve kanit yapilmadan bunlarin birbirine denk oldugu soylenmis.
Sirasiyla:
$\mathcal{M} $ $n$ boyutlu bir manifold ve $p \in \mathcal{M}$ olsun.
- $K_p(\mathcal{M})= \{\alpha : (-\epsilon,\epsilon) \xrightarrow{C^{\infty}} \mathcal{M} \quad| \quad\epsilon>0 \quad \land \quad \alpha(0) = p \}$
Soyle bir denklik iliskisi tanimlayalim Iki egri $\alpha,\beta \in K_p(\mathcal{M })$ birbirine denktir ($\alpha \sim \beta$) eger $p$ etrafindaki bir harita $(U,h)$ (dolayisiyla her harita ) icin $(h \circ \alpha)^{\prime}(0) = (h \circ \beta)^{\prime}(0)$ ise. (Geometrik) Tanjant uzayi $T_p\mathcal{M} = K_p(\mathcal{M})/\sim$ seklinde tanimlanir
- $\mathcal{M} $ uzerinde $p$ noktasinda turevlenebilen fonksyonlarin tohumuna (Ingilizcesi Germ Almancasi Keim Turkceye tohum diye cevirdim) $\mathcal{E}_p(\mathcal{M})$ diyelim.
$v : \mathcal{E}_p(\mathcal{M}) \to \mathbb{R}$, fonksyonlari Leibniz (carpma) kuralini saglasin ve lineer olsunlar. $v$ lerin olusturdugu vektor uzayina (cebirsel) tanjant uzayi denir
-
$D_p(\mathcal{M})$ $p$ etrafindaki butun haritalarin kumesi olsun. $v:D_p(\mathcal{M}) \to \mathbb{R}^n$ tanjant vektoru denir eger harita degisimi altinda haritalarin turevi ile degisiyorsa. Yani
$\forall (U,h),(V,k) \in D_p(\mathcal{M}) \quad v(V,k) = d(k \circ h^{-1})_{h(p)}v(U,h)$. Bu $v$ lerin olusturdugu uzaya (fiziksel) tanjant uzayi denir.
Kitabim bu uc uzayin aslinda ayni uzay oldugunu iddia ediyor. 3. ve 1. tanima asinayim, 2. ise cok hos geldi.
1. ve 2. arasinda sanirim soyle bir baglanti buldum ama cok emin degilim. $[\alpha]$ geometrik tanjant uzayinin bir sakini olsun.
$\mathcal{E}_p(\mathcal{M}) \to \mathbb{R}$
$f\mapsto (f \circ \alpha)^{\prime}(0)$
Su fonksiyon sanirim cebirsel ile geometrik tanjant uzayi arasinda bir baglanti kuruyor.
Sorum bu uzaylarin denkligini nasil gosteririm.
(Hatali ceviriler yapmis olabilirim bir bilen duzeltirse sevinirim).