Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
101 kez görüntülendi
Simetrik pozitif definit matriksler uzerine calisiyorum ve bazi sorularim olacakti.

$\mathcal{P}$ pozitif definit matriksler, $\mathcal{S}$ ise simetrik matriksler cokkatlisi olsun.

$\log : \mathcal{P} \to \mathcal{S}$ surekli ve turevlenebilir, keza tersi de surekli ve turevlenebilir (oyle mi gercekten?). O zaman $\log$ bir diffeomorfizma.

Yanilmiyorsam elimizde bir diffeomorfizma varsa ve hedef veya cikis cokkatlimizin birinin metrigini biliyorsak, o metrigi cikis veya hedef cokkatlimiza tasiyabiliyoruz. Demem o ki

$f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}$ bir diffeomorfizma ise

$ \langle A, B \rangle_{\mathcal{X}} = \langle df(A), df(B) \rangle _{\mathcal{Y}}$

(boyle mi gercekten?)

 

$\mathcal{S}$ uzerinde yanilmiyorsam soyle bir metrik var

$\langle A,B \rangle = trace(AB)$

Bunu kullanarak $\mathcal{P}$ uzerinde $x$ noktasindaki tanjant uzayi uzerindeki ic carpimi (metrik metrik diyordum rahatsiz oldum) soyle buldum

$\langle A,B \rangle_x = trace(Ax^{-1}Bx^{-1})$

Az onceki adimdan hic emin degilim ama gercekten ic carpimin tum ozelliklerini sagliyor bu ifade.

Daha sonra geodezikleri buldum lagrange-euler denklemlerini cozup.

$P_0$ ve $P_1$ arasindaki geodezigi

$\gamma_{P_{01}}(t) = P_0^{0.5}(P_0^{-0.5}P_1P_0^{-0.5})^t P_0^{0.5}$

$P \in \mathcal{P}$ noktasindan baslayip $S \in \mathcal{S}$ yonunde ilerleyen geodezigi ise

$\gamma(t) = P^{0.5}exp(P^{-0.5}SP^{-0.5}t) P^{0.5}$

seklinde buldum.

Geodezikleri kullanarak $P1$ ve $P2$ arasindaki uzakligi

$d(P_1,P_2)=\|\log(P_1^{-0.5}P_2 P_1^{-0.5}) \|_F$ (frobeneius normu)

seklinde buldum. Biraz ilginc bir uzaklik fonksyonu bu aslinda

soyle ozellikleri oldugunu gosterdim:

$d(x^{-1},y^{-1}) = d(x,y^{-1})$

$d(AXA^{-1},AYA^{-1}) = d(X,Y)$

 

Simdi ise bu cokkatlinin curvature (bukumluluk? ) tensorunu hesaplamak istiyorum ama isin icinden cikamadim. yardimci olabilir misiniz?

(Aslinda curvature in tam degerine de ihtiyacim yok sectional curvature in asla pozitif olmadigini gostersem de yeter bana)
Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 101 kez görüntülendi
19,345 soru
21,132 cevap
70,605 yorum
24,386 kullanıcı