Bir cismin ilk konumlu fırlatılması ve newton hareket yasaları.

Question

Zaman: birimi $t$ (saniye) 'dir  sembolü   $\boxed{t}$   

Konum: birimi $m$ (metre) 'dir  sembolü   $\boxed{\overrightarrow r(t)}$   

Konum değişimi hızdır, birimi  $m/s$ (metre bölü saniye) 'dir  sembolü   $\boxed{\overrightarrow v(t)}$   dir.

Hız değişimi ivmedir, birimi $m^2/s^2$ (metre kare bölü saniye kare) 'dir   sembolü $\boxed{\overrightarrow a(t)}$    


Amacımız bir parçacığın haraketini analiz etmekse ki öyle, o zaman bu bilgiler neticesinde kullanabileceğimiz bir genel formâl formule ihtiyacımız var.$^1$

Soru $1$: Bu formâl formulü "$x$"   ve   "$y$" için bulunuz. (ayrı ayrı veya birleşik tek bir formul halinde.)


Şekil Açıklaması:Şekildeki ilk konumu $x=y=0$  ve  $v_0$ hızıyla fırlatılan cisme herhangi bir sürtünme kuvveti etki etmez,

cismin  $v_0$  hızı dışında sadece yerçekimi ivmesi olan  $\overrightarrow g$  ,$-y$  yönünde etki etmektedir.





Soru $2$: Verilen bilgiler dahilinde, cismin havaya çıkış süresinin iniş süresiyle eşit olduğunu gösterin.

Soru $3$: Cismin maximum çıkabileceği yüksekliği bulunuz.

Soru $4$: Cismin ulaşabileceği maksimum $x$ eksenindeki uzunluğu bulunuz.

Comments

"$x$ ve $y$ için" den kasıt zamandan bağımsız, sadece konuma bağlı bir formül mü? Yoksa $t$ değişkenini yazdığımızda bize $x$ ve $y$ değişkenlerini veren bir formül mü?

---

x ve y birim vektorlerıne gore ,t zamanına baglı 

---

Bu arada, sanırım fırlatılırken verilen $\theta$ açısı da denkleme dahil.

---

;)                         

Answer 1

Öncelikle yatay zeminle arasında $\theta$ açısı olan $\overrightarrow{v_0}$ ilk hızını

$\overrightarrow {v_0}=|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta.i+|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta.j$

olarak yazalım ve fırlatma işleminin orijinden yapıldığını farz edelim. Ardından

$\overrightarrow a = a_xi+a_yj$

$\overrightarrow v = v_xi+v_yj$

$\overrightarrow x = Xi+Yj$ olarak da ayıralım.

$\overrightarrow a =\frac{d\overrightarrow v}{dt}\Rightarrow \overrightarrow a.dt=d\overrightarrow v$ yazabileceğimiz açık.

$\overrightarrow a = a_xi+a_yj$ ve

$d\overrightarrow v = i.dv_x+j.dv_y$ yazabileceğimizi de göz önünde bulundurursak

$\displaystyle  i\int \limits_0^t a_x dt+j\int \limits_0^t a_y dt=i\int \limits_{\overrightarrow {v_0}.i}^{v_x}dv_x+j\int \limits_{\overrightarrow {v_0}.j}^{v_y}dv_y$ denklemini elde ederiz.

Bu kısımda yazılımı daha zarif hale getirmek adına vektörü doğrudan birim vektörüyle çarparak eksendeki izdüşümünü elde ettim. Örnek: $\overrightarrow {v_0}.i=(|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta.i+|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta.j).i=|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta$

Not: Burada yaptığım olay çok basit bir durummuş, fizik101 dersinin başında anlattıklarında kafama oturmamıştı, burada anladım.

Denklem üzerinde oyunlar oynamaya devam edelim. $a_x=0$ ve $a_y=-g$ olduğu söylenmiş, yerlerine koyarsak

$\displaystyle -j\int \limits_0^t g.dt=i\int \limits_{\overrightarrow {v_0}.i}^{v_x}dv_x+j\int \limits_{\overrightarrow {v_0}.j}^{v_y}dv_y \\ \displaystyle \Rightarrow -gt.j=v_x.i-|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta.i+v_y.j-|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta.j$

eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikten hareketle

$v_x=|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta$

$v_y=|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta-gt$

diyebiliriz. Bu denklemleri bulduğumuza göre yukarıdaki gibi $\overrightarrow v =\frac{d\overrightarrow x}{dt}\Rightarrow \overrightarrow v.dt=d\overrightarrow x$ yazabiliriz.

$\overrightarrow v = v_xi+a_yj=|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta.i+(|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta-gt)j$

$d \overrightarrow x = i.dX+j.dY$ olduğunu hatırlayalım. O halde

$\displaystyle i \int \limits_0^t |\overrightarrow{v_0}| \cos\theta dt+j\int \limits_0^t (|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta-gt) dt=i \int \limits_0^X dX+j\int \limits _0^Y dY\\ \Rightarrow i|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta .t+j|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta .t-j\frac{gt^2}{2}=Xi+Yj$

eşitliğini buluruz. Eşitlik bize

$X=|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta .t$ ve

$\displaystyle Y=|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta .t-\frac{gt^2}{2}$ eşitliklerini verir. Yani zamana bağlı parametrelerle cismin o zamandaki yer değiştirmesini 

$\displaystyle \overrightarrow x = i|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta .t+j\left(|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta .t-\frac{gt^2}{2}\right)$

bağıntısıyla bulabiliriz artık. Bu 1. sorunun çözümüydü, kalan sorular buraya kadar bulduklarımızla oldukça kolay olacak.

Maksimum yükseklikte anlık irtifa değişimi 0 olacağından, öyle bir $t$ anı vardır ki. $v_y=0$ olur.

$v_y=|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta-gt$ olduğunu daha önceden bulmuştuk. $0$'a eşitlersek

$|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta-gt=0 \Rightarrow t=\frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}$ olduğu görülür. Bu $t$ anına $t_c$ diyelim. $t_c$ anındaki irtifa bize maksimum yüksekliği verecektir. O halde

$\displaystyle Y_{max}=|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta .t_c-\frac{gt_c^2}{2}=|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta \frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}-\frac{g\left(\frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}\right)^2}{2}=\frac{(|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta)^2}{2g}$

olacaktır. Bunu enerji dönüşümünden de ispatlayabilirdik ama elimdeki denklemler fazlasıyla yetiyordu. 3. soruyu da aradan çıkarttık bu arada.

Cismin toplam uçuş süresini cismin yükseldiği süre ile cismin alçaldığı süreyi toplayarak bulabiliriz. Benzer şekilde eğer uçuş süresinden yükseldiği süreyi çıkarırsak, ki yükseldiği süreyi zaten bulmuştuk, iniş süresini bulabiliriz.

Peki uçuş süresini nasıl buluruz. Yere düştüğü an cismin irtifası $0$ olacağından

$\displaystyle Y=|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta .t-\frac{gt^2}{2}=0$ denkleminin

$t=0$ ve $t=2\frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}$ olmak üzere iki farklı kökü vardır. Bu süreye de $t_u$ diyelim. Cismin alçaldığı süreye de $t_i$ dersek, $t_i=t_u-t_c$ diyebiliriz. O halde

$t_i=2\frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}-\frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}=\frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}=t_c$

oluyor. Bu da 2. sorunun cevabı. Son bir hamleyle bitirelim.

Tüm uçuş süresini bildiğimize göre, bunu 1. sorunun çözümünde bulduğumuz yer denkleminde yerine koyarsak

$\displaystyle \overrightarrow x = i|\overrightarrow{v_0}| \cos\theta \left(2\frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}\right)+j\left(|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta \left(2\frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}\right)-\frac{g\left(2\frac{|\overrightarrow{v_0}| \sin\theta}{g}\right)^2}{2}\right)\\ \Rightarrow X=\frac{|\overrightarrow{v_0}|^2 \sin2\theta}{g}$

olduğunu buluruz. Hatta bu denklemden yorumla maksimum menzilli fırlatma açısının $45^\circ$ olduğunu da söyleyebiliriz.

Böylece 4 soruyu da cevaplamış olduk, okumaya ayırdığınız vakit için teşekkür ederim.

Comments

Mükemmel! Tebrik ederim.

Bkz: Benzer soruya benim cevabım.