Bir boyutta hareket problemi

Question

Bir otomobil $\overrightarrow {r_{1}}$ $=$  $L_{1}\widehat {y}$ $(L_{1}>0)$ yer vektörü ile, diğer bir ikinci otomobil ise $\overrightarrow {r_{2}}=L_{2}\widehat {x}$ yer vektörü ile verilmiş olup, bulundukları konumda dinlenme pozisyonundadırlar. 

$t=0$ anında, otomobil $1$  ; $\overrightarrow {a_{1}}=c_{1}\cdot t^{3}\cdot \widehat {y}$ ivmesine, otomoboil $2$ ;  $\overrightarrow {a_{2}}=a_{2}\widehat {x}$ sabit ivmesine sahiptir. 

İki otomobilin çarpışması için $\overrightarrow {a_{2}}$' nin büyüklüğü ne olmalıdır?

Bu soru aslında ders notları içindeki çözümlü bir örnekti, otomobil 1 için önce ivmenin integrali ile hıza, hızın integrali ile aldığı yol hesaplanarak bu yol aynı işlemler otomobil 2 için uygulanıp aldıkları yollar eşitlenmiş. Neden böyle yapıldığını ve otomobil 1 için alınan yol hesabındaki işlemleri anladım. Anlamadığım kısım Otomobil 2'nin aldığı yolun bulunması.

Comments

Aradığınız şey iki aracın buluşmasıyla ilgili olduğundan, ikisinin de konum vektörünü bulmanız gayet doğal değil mi? Buluşma/çarpışma iki cismi ilgilendirir.

Diğer taraftan, aldıkları yollar eşitlenemez. Bu yanlış olur. Zira birisi orijine $L_1$, diğeriyse $L_2$ kadar uzakta harekete başlıyor. Doğrusu, konumların (vektörlerinin) eşitlenmesi olmalı. Çarpışma için ikisinin aynı yolu alması gerekmez; ikisinin aynı konumda bulunması gerekir (ve yeter).

Answer 1

İki cisim herhangi bir $t$ anında çarpışıyorsalar o $t$ anında aynı yerdedirler.

Soru özelinde ise $\vec{r_1}= L_{1}\widehat {y}$ ve $\vec{r_2}= L_{2}\widehat {x}$ vektörleri,

 $\widehat {x}$ ve $\widehat {y}$ gibi iki $\perp$  dik vektör ve kendi doğrultularında

$\vec{a_1}= c_{1}. t^3 \widehat {x}$

ve

$\vec{a_2}= a_{2} \widehat {y}$

olduğu için iki $\perp$ vekör orjin $(0,0)$ çarpışacatır.

O halde çapışma anına $t=T$ diyerek,

$\vec{a_1}= c_{1}. t^3 \widehat {y}$

ve

$\vec{a_2}= a_{2} \widehat {x}$ yi $t$ ye göre iki kere integrallerini alıp iki integrali de $0$ a eşitlememiz yeterli olacaktır.

$\vec{v}_1 (t) = \int \vec{a_1}(t) dt$

$\vec{v}_1 (t) = \int c_{1}. t^3  dt \widehat {y}$

$\vec{v}_1 (t) =  [ \dfrac {c_{1}}{4} . t^4  + \vec{v}_{01}] \widehat {y}$

ve benzer şekilde

$\vec{v}_2(t) = \int  \vec{a_2}(t) dt$

$\vec{v}_2(t) = \int  \vec{a_2} dt \widehat {x}$

$\vec{v}_2(t) =  [\vec{a_2} t +  \vec{v}_{02}] \widehat {x}$

sonuçları elde ederiz. Cisimler başlangıçta dinlendiklerinden ilk hızlar

$\vec{v}_{01} = 0$

ve

$\vec{v}_{02} = 0$

olduğundan hız vektörleri

$\vec{v}_1 (t) =  \dfrac {c_{1}}{4} . t^4   \widehat {y}$

$\vec{v}_2(t) =  \vec{a_2} t  \widehat {x}$

olurlar.

Hız vektörlerinin de $t$ ye göre integrallerini alarak

$\vec {r}_1 (t) = \int \vec{v}_1 (t) dt$

$\vec {r}_1 (t) = \int \dfrac {c_{1}}{4} . t^4     dt \widehat {y}$

$\vec {r}_1 (t) =  [ \dfrac {c_{1}}{20} . t^5  +  L_1 ] \widehat {y}$

ve

$\vec {r}_2 (t) = \int \vec{v}_2 (t) dt$

$\vec {r}_2 (t) = \int \vec{a}_2 t dt \widehat {x}$

$\vec {r}_2 (t) = [\dfrac {\vec{a}_2}{2}  t^2  + L_2 ] \widehat {x}$

olarak hesaplanır.

$t=T$ anında

$\vec {r}_1 (T) = \dfrac {c_{1}}{20} . T^5  +  L_1 = 0$ dan

$T =  \sqrt[5]{\dfrac{- 20{L_1}}{c_1}}$ olur.

$\vec {r}_2 (t) = \dfrac {\vec{a}_2}{2}  T^2  + L_2 = 0$

dan

$\dfrac {\vec{a}_2}{2} \sqrt[5]{   400 (\dfrac{{L_1}}{c_1})^2    }  + L_2 = 0$

ve buradan $|\vec{a}_2| = 2 L_{2} \sqrt[5] {  (\dfrac{{c_1}}{ 20 L_1})^2   }$  olarak hesaplanır.