Tanımlarda anlamadığım noktalar

Question

Hocalarım , aklıma tam oturmayan eksik bildiğim bazı şeyleri sormak isterim.

1)  Bir fonksiyonun limiti yok diyebilmek için nokta kesin belirtilmelidir. 

$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}$ limiti yoktur. 0 dışında her yerde limiti vardır.

direk $\dfrac {1}{x}$ için limiti yoktur demek yanlıştır.

2) Yine aynı $\dfrac {1}{x}$ fonksiyonundan gidiceğim.Bu fonksiyonun türevi $-\dfrac {1}{x^{2}}$ ve $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( 0\right) }{x-0}$  bu mevcutsa türevim vardır. $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{x}$ bunun varlığı yokluğu beni alakadar etmiyor türevin varlığı için. İlk yazdığım tanıma gelirsem $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( 0\right) }{x-0}$ , burada $f(0)$ tanımsız ve 0 harici her yerde türevide vardır . 

$0$ noktasında türevinin olmadığını nasıl gösterebilirim ?

3) Şöyle bir genelleme yapılabilir mi ? $a$ noktasında limiti yok veya $a$ noktasında süreksiz ise $a$ noktasında türevide yoktur.

Comments

$x=0$ yazmadan, yani türevin varlığını göstermeye çalıştığın noktayı açıkça yazmadan (zira siz, türevin tanımındaki $\epsilon$ yerine $x$ kullanmışsınız) türevin tanımından $\epsilon$ ve $x$'e bağlı bir limit ifadesini türetip bunun üzerinden değerlendirme yaparsanız, hangi noktalarda limit mevcut değildir vs gibi şeyleri çıkarabilirsiniz sanırım.

Yani $f(x)=1/x$ için, $$\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}$$ ifadesini açıkça hesaplayıp değerlendirin.

---

Benim limit içeren türev tanımı yanlış olmuş.

 $\lim _{a\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}$ nerede limit vardır sorusuna cevap aramak için bu tanımı kullanmak yerine sizin yazdığınızı kullanmalıyım.

$\lim _{a\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x+a\right) -f\left( x\right) }{x+a-x}$ bunu kullanarak $\dfrac {1}{x}$ in türevini alıcam.

$\lim _{a\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{x+a}-\dfrac {1}{x}}{a}$ $\rightarrow \lim _{a\rightarrow 0}\dfrac {-a}{x^{2}+xa}\cdot \dfrac {1}{a}$ $\rightarrow -\dfrac {1}{x^{2}}$ geliyor limitin sonucu. 

Bu sonuca bakarak mı x = 0 için türev yoktur demeliyim ?

---

Evet. Zîrâ, $x=0$ durumunda (kabaca dersek) limit sonsuz olmaktadır ki buna limit yok diyoruz.

---

hocam peki şunun hakkında Şöyle bir genelleme yapılabilir mi ? a noktasında limiti yok veya a noktasında süreksiz ise a noktasında türevide yoktur.

aaaa noktasında türevide yoktur.

---

Hocam ben şunu çıkarıyorum.Ben fonksiyonun türevini alıyorum sonrasında tanımsız yapan değerler de onun orada türevinin olmadığını söylüyorum. 

Aynı şey integral içinde geçerli mi ?

$\int \dfrac {1}{x}dx=\ln x+c$ , $\left( -\infty ,1\right)$ aralığında tanımsız bu aralıkta integrallenemezde demeliyim dimi ?

---

$f$ fonksiyonunun $x=a$'da türevinin olması için gerek yeter şart, $f$'nin $x=a$'da sürekli olmasıdır, diye bir lakırdı mevcuttur.

---

Pratik olarak dediğiniz gibi, evet. Yalnız, integralde dikkatli olmak gerek. İntegrant ve sınırların durumuna göre Has olmayan (veya genelleştirilmiş) manada integre etmek gerekir. Sonuçta, pratikte, elde edilen fonksiyonun hangi $x$'ler için sonlu olduğuna bakıyorsunuz.

---

hocam dediğinize ek ilave  $a$ noktasında sürekli ve sağ ve sol türevlerde birbirine eşit olmalı.

$\left| x\right|$ her yerde süreklidir. x=0 noktasını göz önüne alırsak x=0da sürekli ama  Sağ türev ve Sol türev birbirine eşit değildir.

---

$\left| x\right|$ fonksiyonu x = 500 için de sürekli. x=500 için türev mevcuttur değil mi ?

Yani biz fonksiyona bir noktada türevi yoktur diyebiliriz.Genelleyerek $\left| x\right|$ in türevi yoktur demek yanlıştır değil mi ? x= 0 noktasında türevi yoktur doğrusudur.

---

Aslında karışıklık, hassas (ve dahası, kesin) bir dil kullanılmamasından kaynaklanıyor. Bir fonksiyona türevi vardır demek, çalışılan aralıkta her noktada türevi vardır demektir. 

Hatırlarsanız türevin tanımı öncelikle noktasal olarak verilir. Yani, önce tek bir noktada türevlenmeyi tanımlıyoruz. Eğer incelenen aralıkta her noktada türev varsa fonksiyona türevlenebilir diyoruz. Aksi halde, türevlenebilir diyemeyiz; Şu nokta haricinde türevlenebilir demek lazım gelir.

---

Son örnekte, mutlak değer fonksiyonu $x=0$ haricinde türevlidir. Fakat $[-1,+1]$ aralığında türevli değildir. Çünkü $x=0$ noktasında türevli değildir.