$T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ bir lineer dönüşüm olsun. $ x\in \mathbb{R}$ için $T(x)=tx$ olacak şekilde $T$ ye bağlı bir $t$ sayısının varlığını gösteriniz.

Question

$T(x) \in \mathbb{R}$ olduğundan doğal olarak $x$'in bir $t$ katı şeklinde yazılabilir. nasıl göstereceğim tam olarak?  mesela

 $T(a) = b$ olsun. $b= a. \frac{b}{a}$' dır?  

Comments

$\forall x\in\mathbb{R}$ için $x=x\cdot1$ olduğunu kullanmaya çalış.

---

önce $T(x)=x$ olduğunu göstermem gerekmez mi bir $x$ için

---

(0 dan başka) böyle bir sayı var olmak zorunda değil.

---

Lineer olmak ne demek?

---

her $A,B \in V$ için $T(A+B) =T(A) + T(B)$ ve $T(rA) = rT(a)$ koşullarının sağlanması demek.

 $T(x)=xT(1)$ ve $T(1) =t\in \mathbb{R} $ desek olur mu yani

---

Evet. Bu kadar basit.

Answer 1

Azıcık daha genel bir şeklini:

$V,\ F$ cismi üzerinde 1-boyutlu bir vektör uzayı ve $T:V\to V$ lineer bir dönüşüm olsun.

O zaman $\forall v\in V$ için, $Tv=tv$ olacak şekilde ($v$ ye bağlı olmayan tek) bir $t\in F$ vardır.

önermesinin doğruluğunu gösterelim.

(Aynen yorumdaki gibi gösterilebilir ama biraz "havalı" bir çözüm olsun)

($V,\ 1$-boyutlu olduğu için) $T$ nin karakteristik denklemi 1. derece olur ve bu nedenle, $F$ cisminde tek bir kökü vardır. Bu kök, $T$ nin biricik özdeğeri (eigenvalue) olur. Bu özdeğere $t$ diyelim

Öyleyse, $Tv_0=tv_0$ olacak şekilde ($F\neq\mathbb{Z}_2$ ise tek DEĞİL) $0\neq v_0\in V$ vektörü vardır.

$V,\ 1$ boyutlu olduğundan, $\{v_0\},\ V$ nin bir bazıdır.

$\forall v\in V$ için $v=av_0$ olacak şekilde (tek) bir $a\in F$ vardır.

Bu nedenle, $Tv=T(av_0)=aT(v_0)=a(tv_0)=t(av_0)=tv$ olur.

Comments

Aslında "özdeğer" kısmı gereksiz.

$0\neq v_0\in V$ olsun. $Tv_0\in V$ ve $\{v_0\},\ V$ için bir baz olduğundan,

$T(v_0)=tv_0$ olacak şekilde (tek) bir $t\in F$ vardır. Gerisi aynı.