$S$ ve $T$ $V$'nin birer alt uzayı ve $S \cap T=0$ olsun. $S+T$' deki her vektörün tektürlü yazılabileceğini kanıtlayınız

Question

ispatımda hata olup olmadığı hususunda sizlere danışmak istedim.

$A_1,A_2 \in S$ ve $B_1,B_2 \in T$  olsun. bir $C \in S+T$ vektörü $A_1+B_1=C$ ve $A_2+B_2=C$ şeklinde yazılabilsin. amaç $A_1=A_2, B_1=B_2$ eşitliklerini göstermek. 

$C$'nin varsayımından  $A_1+B_1=A_2+B_2$ dir. 

eşitliğin her iki yanına $-A_1$ ve $- B_2$ eklersek

$B_1-B_2=A_2-A_1$ eşitsizliğine ulaşırız. 

o zaman eşitlikten dolayı $T$ de bulunan $B_1-B_2$ $S$' de de bulunur. aynı nedenden $S$ de bulunan $A_2-A_1$ $T$ de de bulunur. buradan ikisinin de kesişim kümesinde oldukları ortaya çıkar.

Hipotezde kesişimdeki tek eleman $0$ idi. 

yani $B_1-B_2=0$ ve $A_2-A_1=0$

 $A_1=A_2, B_1=B_2$  istediğimiz eşitlik. 

Comments

Güzel olmuş.

---

"tektürlü" ne kadar güzel bir kelimeymiş.

---

Larry Smith'in Lineer Cebir kitabı. Anadolu Üni. hocaları bu şekilde çevirmiş. 

Answer 1

İspat doğru ancak tek başına "tek türlü yazılış" tanımı eksik kalıyor biraz.

Şöyle ki V, bir vektör uzayı ve B={V1;...,Vn}, V vektör uzayı için bir baz olsun.
O zaman V'deki her elemanın, B bazına göre yazılışı tek türlüdür.
Yani her v∈V için v=c1.v1+...+cn.Vn olacak şekilde c1,...cn∈F vardır.
Fakat bazı değiştirirsek, bu gösterim de değişir. Örneğin, B1={(1,0), (0,1)} ve B2={(2,0), (0,2)} olsun. B1 ve B2, R2 için birer baz teşkil eder.(4,0)∈R2 için, (4,0)=4.(1,0)+0.(0,1) dir.(B1 bazına göre), (4,0)=2.(2,0)+0.(0.1)dir.(B2 bazına göre)

S= {(2a,0) : a∈R} ve T= {(0,b) : b∈R} idi. S+T={(2a,b) : a,b∈R} R2nin alt vektör uzayları olsun.
Buradan aldığımız herhangi bir (2a,b) elemanını (2a,b)=(2a,0)+(0,b), (2a,0)∈S ve(0,b)∈T şeklinde tektürlü yazabiliyorduk. Ayrıca (2a,b)=2a.(1,0)+b.(0,1) şeklinde tektürlü yazabiliriz.(B standart bazına göre)

Yani S+T'nin elemanlarının yazılışının tek türlü olabilmesi için, S ve T'deki vektörlerin, V'nin bir B bazına göre yazılışı tek türlü olmalıdır. Yani V sonlu boyutlu olmalıdır.
(Küçük bir tanım: V, F cismi üzerinde bir vektör uzayı. S ve T de V'nin 2 alt vektör uzayı olsun. Eğer S ∩T=0v ise S+T alt vektör uzayına direkt toplam denir.)
Yani sorumuzu(teoremimizi) şöyle değiştirmemiz daha makul olur.
V sonlu boyutlu bir vektör uzayı, S ve T V'nin alt vektör uzayları olsun. S+T direkt toplamındaki her elemanın yazılışı tek türlüdür.

Comments

Bence o ispatta bir eksik yok. 

"Sonlu boyutlu" olma koşulu ve "direkt toplam, baz" kavramlarını eklemek gereksiz.

"tektürlü yazılış" tanımlamak için baz kavramına veya sonlu boyut koşuluna gerek yok.

$S+T=\{A+B:A\in S, \ B\in T\}$ standart tanımdır. 

Dolayısıyla $S+T$ nin elemanları, zaten tanımı gereği, ($S$ deki ve $T$ deki elemanların bir toplamı olarak yazılabiliyor. 

Sorulan da $S\cap T=\{\mathbf{0}\}$ ($\mathbf{0},\  V$ nin birim elemanı) ise (baza göre yazılışın değil) bu şekilde yazılışın tek oluşunun gösterilmesi isteniyor ve ispat bunu yapıyor. 

Soru, sonsuz boyutlu vektör uzaylarında da anlamlı ve yine doğru oluşunun ispatı aynı.

Örneğin:

$V:\mathbb{R}$ de tanımlı tüm fonksiyonlar, $S$: tek polinomlar, $T$: çift polinomlar olsun. $V$ sonsuz boyutlu bir vektör uzayıdır. $S$ ve $T,\ V$ nin (sonsuz boyutlu) vektör alt uzayları ve $S\cap T=\{\mathbf{0}\}$ dir (bu durumda $S+T$ tüm polinomlar oluyor). 

Her polinom,  bir tek polinom ve bir çift polinomun toplamı olarak tektürlü yazılır.

 

---

Evet sanırım sizin dediğiniz doğru. Ben biraz yanlış düşünmüşüm. Teşekkür ederim