Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
5.5k kez görüntülendi
Her $n\in\mathbb{N}$ için $$f_n:[0,1)\to\mathbb{R}, \ f_n(x)=x^n$$ olmak üzere $(f_n)_n$ fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak olduğunu fakat düzgün yakınsak olmadığını gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 5.5k kez görüntülendi

6 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak ve düzgün yakınsak olması tanımlarını tekrar hatırlatalım.

Tanım: $X\neq \emptyset \,\ \text{küme}, \,\ (Y,d)$ metrik uzay, $ f_n \in \left(Y^X\right)^\mathbb{N} \,\ \text{ve} \,\ f \in Y^X$ olmak üzere eğer

$$(\forall \epsilon >0)\underline{(\forall x\in X)(\exists N \in \mathbb{N})}(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$ önermesi doğru ise $(f_n)_n$ dizisi, $f$ noktasına (fonksiyonuna) noktasal yakınsıyor denir ve $$f_{n}\overset{n}{\longrightarrow }f$$ ile gösterilir. Eğer $$(\forall \epsilon >0)\underline{(\exists N \in \mathbb{N})(\forall x\in X)}(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$önermesi doğru ise $(f_n)_n$ dizisi, $f$ noktasına (fonksiyonuna) düzgün yakınsıyor denir ve $$f_{n}\overset{d}{\longrightarrow }f$$ ile gösterilir.

 

Özel olarak $Y=\mathbb{R}$  ve  $d:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^{\geq 0}, \ d(x,y):=|x-y|$ ise tanım şu şekle dönüşür:

 

$$f_n\overset{n}{\to} f:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)\underline{(\forall x\in X)(\exists N \in \mathbb{N})}(\forall n\geq N)(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon)$$

$$f_n\overset{d}{\to} f:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)\underline{(\exists N \in \mathbb{N})(\forall x\in X)}(\forall n\geq N)(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon)$$

$x\in [0,1)$ olduğundan $$\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$$ olur. Dolayısıyla $(f_n)_n$ fonksiyon dizisinin $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:[0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonuna noktasal yakınsadığını tahmin etmek zor olmasa gerek. Şimdi bu tahminimizin doğru olduğunu gösterelim:

$(x=0$ için $f_n(x)=0^n=0$ ve sabit fonksiyon dizileri hem noktasal (Neden?) hem de düzgün yakınsak (Neden?) olduğundan bundan sonraki kısımda çalışmalarımızı $x\in (0,1)$ için yapmak yeterli olacaktır.$)$

Bunun için de her $\epsilon>0$ ve her $x\in (0,1)$ için öyle bir $N\in\mathbb{N}$ bulmalıyız ki her $n\geq N$ için 

$$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

koşulu sağlansın. Noktasal yakınsaklık tanımına dikkat edilirse aradığımız $N$ doğal sayısı hem $\epsilon$ hem de $x$ sayısına bağlı olacak. Yani $\epsilon$ ve $x$ değiştikçe $N$ sayısı da değişecek.

$$|f_n(x)-f(x)|=|x^n-0|=|x^n|\overset{x\in (0,1)}{=}x^n<\epsilon$$ olmasını istediğimizden her $0<\epsilon<1$ ve her $x\in (0,1)$ için $N=\lfloor\log_x\epsilon\rfloor+1\in\mathbb{N}$ seçilirse her $n\geq N$ için

$$|f_n(x)-f(x)|=|x^n-0|=|x^n|\overset{x\in (0,1)}{=}x^n\overset{x\in (0,1)}{\leq } x^N=x^{\lfloor\log_x\epsilon\rfloor+1}\overset{x\in (0,1)}{<}x^{\log_x\epsilon}=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde 

$$(\forall \epsilon >0)\underline{(\forall x\in X)(\exists N \in \mathbb{N})}(\forall n\geq N)(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon)$$ önermesi doğru yani $(f_n)_n$ fonksiyon dizisi noktasal yakınsaktır.

 

Not-1: Burada bulduğumuz $N$ sayısının hem $\epsilon$ hem de $x$ sayısına bağlı olduğuna dikkat edin.

Not-2: Yanıtı okuyan bir okur "noktasal yakınsaklık tanımında her $\epsilon>0$ için yazmasına karşın burada sadece $0<\epsilon<1$ için bir $N$ doğal sayısının bulunabileceği gösterildi. $\epsilon\geq 1$ için bir $N$ sayısının bulunabileceği ile ilgili bir açıklama yapılmamış" sorusunu sorabilir. Kendi kendine böyle bir soru soran okura şunu söyleyelim. $\epsilon\geq 1$ için $N$ doğal sayısı ne seçilirse seçilsin ilgili koşulun sağlanacağını görmeye çalışmasını tavsiye ederim.

Not-3: Bu fonksiyon dizisinin düzgün yakınsak olmadığının yanıtını daha sonra ekleyelim.

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

(Aşağıdaki teoremden yararlanarak bu, fonksiyon dizisine özel çözüm)

Teorem: Bir $<g_n>$ fonksiyon dizisindeki her fonksiyon, bir $A$ kümesinde sürekli ve  bu dizi $A$ kümesinde, bir $g$ fonksiyonuna düzgün yakınsıyor ise $g$ fonksiyonu da $A$ kümesinde sürekli olur.

$<f_n>$ fonksiyon dizisinin (önceki çözümde noktasal olarak yakınsadığı gösterilen) $f\equiv 0$ (sabit) fonksiyonuna düzgün yakınsadığını varsayalım.

Önce, (bu varsayım ile) $g_n:[0,1]\to\mathbb{R},\quad g_n(x)=x^n$ fonksiyon dizisinin, $[0,1]$ aralığında,  $g(x)=\begin{cases}0,\ 0\leq x<1\\ 1,\ x=1\end{cases}$

fonksiyonuna düzgün yakınsadığını göstereceğiz.

Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin. Varsayımımızdan,

$\forall x\in[0,1)$ ve $\forall n\geq N$ için $|f_n(x)-0|<\varepsilon$

olacak şekilde bir $N$ doğal sayısı vardır.

Aynı $N$ doğal sayısı için

$\forall x\in[0,1]$ ve  $\forall n\geq N$ için $|g_n(x)-g(0)|<\varepsilon$

olur (çünki, her $n$ için $g_n(1)=g(1)$ ve diğer $x$ ler için $f_n(x)=g_n(x)$ ve $f(x)=g(x)$)

Yani, $<f_n>$ dizisi $f$ ye $[0,1)$ aralığında düzgün yakınsıyor ise $<g_n>$ dizisi $g$ ye, $[0,1]$ aralığında, düzgün yakınsar.

Ama, açıkça, her $n$ için $g_n,\ [0,1]$ aralığında sürekli ama $g,\ [0,1]$ aralığında süreksizdir.

Bu durum, yukarıdaki teorem ile çelişir.

Öyleyse, $<f_n>$ fonksiyon dizisi  $f\equiv 0$ (sabit fonksiyonuna) düzgün yakınsamaz.

(6.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Teşekkür ederim hocam.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Daha kısa (ve "normal") çözüm.

$<f_n>$ dizisinin $[0,1)$ aralığında $f\equiv0$ (sabit) fonksiyonuna düzgün yakınsadığını varsayalım.

($f\equiv0$ (sabit) fonksiyonuna noktasal olarak yakınsadığı için, başka bir fonksiyona düzgün yakınsayamaz)

$\varepsilon=\frac12$ alalım. (Düzgün yakınsaklık tanımından) $\forall n\geq N$ için ve $\forall x\in[0,1)$ için $|f_n(x)-0|=x^n<\frac12$ olacak şekilde bir $N\in\mathbb{N}$ vardır.

Dolayısıyla $\forall x\in[0,1)$ için $x^N<\frac12$ olmalıdır.

Ama bunu sağlamayan bir çok $x\in[0,1)$ bulmak hiç de zor değil. Örneğin:

$x=\sqrt[N]{\frac23}$ olsun. $0\leq x<1$ olduğu açıktır. Ama $x^N=\frac23>\frac12$ olur.

Bu çelişki, varsayımımızın yanlış olduğunu, yani $<f_n>$ dizisinin $[0,1)$ aralığında $f\equiv0$ (sabit) fonksiyonuna düzgün yakınsamadığını ispatlar.

(6.1k puan) tarafından 

Başka (biraz daha zor) bir çözüm de $<f_n>$ dizisinin, $[0,1)$ aralığında, (düzgün) Cauchy dizisi olmadığını göstermektir.

O çözümü de ekledim.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Biraz daha "havalı" bir çözüm:

$<f_n>$ fonksiyon dizisinin ($[0,1)$ aralığında (düzgünü) Cauchy dizisi olmadığını gösterelim.

Düzgün Cachy dizisi tanımı:

$f_n:A\to\mathbb{R}$ bir fonksiyon dizisi olsun. Eğer $\forall \varepsilon>0$ için:

$\forall m\geq n\geq N$ ve $\forall x\in A$ için $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$

olacak şekilde (sadece $\varepsilon$ a bağlı) bir $N\in\mathbb{N}$ varsa,

$<f_n>$ fonksiyon dizisi $A$ kümesinde düzgün Cauchy dizisidir deriz.

Şu teoreme gerek duyuyoruz:

Teorem: $<f_n>$ fonksiyon dizisi ($f_n:A\to\mathbb{R}$), $A$ kümesinde bir $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyonuna düzgün yakınsıyor ise, $<f_n>$ fonksiyon dizisi  ($A$ kümesinde) bir düzgün Cauchy dizisidir. 

(Bu teoremin ispatı, (herhangi bir metrik uzayda) yakınsak bir dizininin bir Cauchy dizisi olduğunun ispatı ile  aynıdır.)

$\varepsilon=\frac19$ olsun.

Herhangi bir $N\in\mathbb{N}$ için $n=N+1,\ m=2N+2$ olsun.

$x=\sqrt[N+1]\frac23$ olsun. $x^n=\frac23,\ x^m=\left(\frac23\right)^2=\frac49$ ve $|f_m(x)-f_n(x)|=\frac29>\varepsilon$ olur.

(Bunlardan başka da, son eşitsizliği sağlayan pek çok $n,m,x$ de bulunabilir.)

Bu da, $\varepsilon=\frac19$ için (düzgün Cauchy dizisi tanımdaki koşulu sağlayan) bir $N\in\mathbb{N}$ bulunamayacağını gösterir. 

Bu da, $<f_n>$ dizisinin $[0,1)$ kümesinde düzgün Cauchy dizisi olmaması demektir. (Bunu, $<f_n>$ dizisinin $[0,1)$ kümesinde düzgün Cauchy dizisi olduğunu varsayıp, hemen hemen aynı şekilde, bir çelişki elde ederek de gösterebilirdik)

Yukarıdaki teoremden, $<f_n>$ dizisinin $[0,1)$ kümesinde düzgün yakınsak olamaz.


(6.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: $X\neq \emptyset \,\ \text{küme}, $ $ f_n \in \left(\mathbb{R}^X\right)^\mathbb{N} \,\ \text{ve} \,\ f \in \mathbb{R}^X$ olmak üzere

$$f_n\overset{d}{\to} f:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall x\in X)(\forall n\geq N)(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon).$$

O halde

$$f_n\overset{d}{\nrightarrow } f:\Leftrightarrow (\exists \epsilon >0)(\forall N \in \mathbb{N})(\exists x\in X)(\exists n\geq N)(|f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon)$$

olur. Dolayısıyla bu soru için 

$$(\exists \epsilon >0)(\forall N \in \mathbb{N})(\exists x\in [0,1))(\exists n\geq N)(|f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon)\ldots (*)$$ önermesinin doğru olduğunu gösterirsek söz konusu fonksiyon dizisinin $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:[0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonuna düzgün yakınsamadığını göstermiş oluruz. Şimdi

$\epsilon=\frac12$ olmak üzere her $N\in\mathbb{N}$ için $x:=\left(\frac23\right)^{\frac1N}\in [0,1)$ ve $n:=N\geq N$ seçilirse $$|f_n(x)-f(x)|=\left|f_N\left(\left(\frac23\right)^{\frac1N}\right)-0\right|=\left|\left(\left(\frac23\right)^{\frac1N}\right)^N\right|=\frac23\geq \frac12=\epsilon$$ koşulu sağlanır. Yani $(*)$ önermesi doğru olur. Dolayısıyla söz konusu fonksiyon dizisi $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:[0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonuna DÜZGÜN YAKINSAK DEĞİLDİR.

(11.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir çözüm daha:

Tanım: $f:A\to\mathbb{R}$, $A(\neq\emptyset)$ kümesinde sınırlı bir fonksiyon olsun. $f$ nin $A$ kümesinde (sup=supremum) normu $\|f\|_A=\sup\{|f(x)|: x\in A\}$ olarak tanımlanır.

Teorem (Weierstrass): $<f_n>,\ f_n:A\to\mathbb{R}$ bir fonksiyonlar dizisi ve $f:A\to\mathbb{R}$ olsun. O zaman aşağıdakiler eşdeğerdir:

i) $<f_n>$ dizisi, $A$ kümesinde $f$ ye düzgün yakınsar.

ii) ($M_n=\|f_n-f\|_A$ olmak üzere) $\lim\limits_{n\to\infty} M_n=0$

(İspatı çok kolaydır. Düzgün yakınsaklık tanımı ve norm tanımı yazıldığında, ikisinin eşdeğer olduğu kolayca görülür.)

Sorudaki $f_n,\ f$ ve $A=[0,1)$ için  $\forall n\in\mathbb{N}$ için $M_n\neq0$ olduğunu gösterdiğimizde iddiamız ispatlanmış olur.

$\forall x\in[0,1)$ için $0\leq|x^n|=x^n\leq1 $  ve $\forall\  0\leq s<1$ ve $\forall n\in\mathbb{N}^+$ için ($\frac{1+s}2\in A$ olur ve) $f_n\left(\sqrt[n]{\frac{1+s}2}\right)=\frac{1+s}2>s$ olduğundan, 

$\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $M_n=1$ bulunur. Bunun sonucu olarak da

$\lim\limits_{n\to\infty} M_n=1\neq0$ olur.



(6.1k puan) tarafından 

Bir soru: $f_n-f, \ A$ kümesinde sınırsız ise, bu durum,  teoremde bir sorun yaratmaz mı?

Aslında bu çözüm, 3. (Daha kısa (ve "normal") )çözüm ile aynı fikre dayanır.

20,207 soru
21,731 cevap
73,297 yorum
1,896,558 kullanıcı