Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
649 kez görüntülendi
Her $n\in\mathbb{N}$ için $$f_n:(0,1)\to\mathbb{R}, \ f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$$ olmak üzere $(f_n)_n$ fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak olduğunu gösteriniz. $(f_n)_n$ fonksiyon dizisi düzgün yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 649 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$$\left|\frac{x}{1+nx}-0\right|=\left|\frac{x}{1+nx}\right|\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{x}{1+nx}<\frac{x}{nx}\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{1}{n}<\epsilon\Leftrightarrow \frac1{\epsilon}<n$$
olduğundan her $\epsilon>0$ için $N:=\left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor+1\in\mathbb{N}$ seçilirse her $x\in (0,1)$ ve her $n\geq N$ için

$$\left|\frac{x}{1+nx}-0\right|=\left|\frac{x}{1+nx}\right|\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{x}{1+nx}<\frac{x}{nx}\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{1}{n}\leq \frac1N=\frac{1}{\left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor+1}<\frac1{\frac1{\epsilon}}=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $(f_n)_n$ dizisi $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonuna düzgün yakınsar. Düzgün yakınsak her fonksiyon dizisi noktasal yakınsak olduğundan $(f_n)_n$ dizisi $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonuna noktasal olarak da yakınsar.
(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,219 soru
21,752 cevap
73,354 yorum
1,988,312 kullanıcı