Düzgün Yakınsaklık-I

Question

Her $n\in\mathbb{N}$ için $$f_n:(0,1)\to\mathbb{R}, \ f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$$ olmak üzere $(f_n)_n$ fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak olduğunu gösteriniz. $(f_n)_n$ fonksiyon dizisi düzgün yakınsak mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$$\left|\frac{x}{1+nx}-0\right|=\left|\frac{x}{1+nx}\right|\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{x}{1+nx}<\frac{x}{nx}\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{1}{n}<\epsilon\Leftrightarrow \frac1{\epsilon}<n$$
olduğundan her $\epsilon>0$ için $N:=\left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor+1\in\mathbb{N}$ seçilirse her $x\in (0,1)$ ve her $n\geq N$ için

$$\left|\frac{x}{1+nx}-0\right|=\left|\frac{x}{1+nx}\right|\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{x}{1+nx}<\frac{x}{nx}\overset{x\in (0,1)}{=}\frac{1}{n}\leq \frac1N=\frac{1}{\left\lfloor\frac1{\epsilon}\right\rfloor+1}<\frac1{\frac1{\epsilon}}=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $(f_n)_n$ dizisi $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonuna düzgün yakınsar. Düzgün yakınsak her fonksiyon dizisi noktasal yakınsak olduğundan $(f_n)_n$ dizisi $$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\to\mathbb{R}$$ fonksiyonuna noktasal olarak da yakınsar.