$D_{X}\left( Y+Z\right)=?$

Question

$E^{3}$ te $X=\dfrac{\partial }{\partial x}+x\dfrac {\partial }{\partial y}+2y\dfrac {\partial }{\partial z}$ ve    $y=\left(y,z,x\right)$    $Z=\dfrac{\partial }{\partial y}+z\dfrac {\partial }{\partial x}$ vektör alanları veriliyor.

 $f:E^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ ,$f\left( x,y,z\right) =x^{2}z+yz-xy^{2}$ olmak üzere $P\left( 1,2,1\right)$  için  

$D_{X}\left( Y+Z\right)=?$

Answer 1

İlk olarak dağılma özelliğinden $D_{X}\left(Y+Z\right)=D_{X}Y+D_{X}Z$ olduğunu söyleyelim.

• $D_{X}Y$ gösterelim.
  
• $D_{X}Y= (X_{p}\left[y_{1}\right]$,$X_{p}\left[y_{2}\right]$,$X_{p}\left[y_{3}\right])$
  
• $X_{p}\left[y_{1}\right]=\langle x,\nabla y_{1}\rangle =\langle \left(z,x,2y\right) \cdot \left( 0,1,0\right) \rangle     Buradan\\ x=1\ dir.$
  
• $X_{p}\left[y_{2}\right]=\langle x,\nabla y_{2}\rangle =\langle \left(z,x,2y\right) \cdot \left( 0,0,1\right) \rangle     Buradan\\2y=4\ tür.$
• $X_{p}\left[y_{3}\right]=\langle x,\nabla y_{3}\rangle =\langle \left(z,x,2y\right) \cdot \left( 0,1,0\right) \rangle     Buradan\\z=1\ dir.$
  
• Buradan $D_{X}Y=(1,4,1)$ gelir.
• $D_{X}Z$ de $z_{1}$ ,$z_{2}$ ,$z_{3}$ noktaları kullanılarak bulunabilir.

Comments

$D$ türev operatörü afin ya da lineer konneksiyon

olduğundan dolayı toplam üzerine dağılır. $D$ nin

iki vektör alanını yine vektor alanına götürdüğünü  

söyleyebiliriz. Yöne göre türevde $f$ dönüşümünü

nerede kullandınız? 

---

Soruyu yazarken karıştırmışım 

Şöyle yapalım o zaman yukarıdaki soru için $Df\left( p\right) _{X}Y$ bulalım.

$Df\left( p\right) _{X}Y$=$f\left( P\right)$$D_{X}Y$olur.

$P\left( 1,2,1\right)$  f  fonksiyonunda yerine yazalım $f\left( P\right)=2$ olur.

Şimdide $f\left( P\right).D_{X}Y$=$\left( 2,8,1\right)$

Şimdi oldu heralde :)