Homeomorfizmaya Dair-VII

Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi; 

$\mathcal{U}^2,$  $\mathbb{R}^2$ kümesi üzerindeki alışılmış topoloji ve 

$\mathcal{U}^3,$  $\mathbb{R}^3$ kümesi üzerindeki alışılmış topoloji olmak üzere 

$(\mathbb{R}^2,\mathcal{U}^2)$ topolojik uzayının $(\mathbb{R}^3,\mathcal{U}^3)$ topolojik uzayına homeomorf olamayacağını ilgili sorudaki sonucu kullanarak gösteriniz.

Answer 1

Önceki sorudaki kadar basit olmayan (bir teoreme gereksinim duyuyoruz) bir çözüm:

$f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ bir homeomorfizma olsun.

$S\subset \mathbb{R}^3$ bir çember olsun. $\mathbb{R}^3\setminus S$ in bağlantılı olduğunu göstermek zor değildir.

$f(S)$, $\mathbb{R}^2$ nin çembere homeomorfik bir alt kümesi olduğundan Jordan ' ın ünlü eğri teoreminden $\mathbb{R}^2$ yi ikiye ayırır (tümleyeni bağlantılı değildir, iki bileşeni vardır).

Ama http://matkafasi.com/118240/homeomorfizmaya-dair-v?show=118246#a118246 

problemine göre, $f$ nin kısıtlaması, $\mathbb{R}^3\setminus S$ ile $\mathbb{R}^2\setminus f(S)$  (biri bağlantılı diğeri bağlantısız iki uzay) arasında  bir homeomorfizmadır. 

Bağlantılı olmak bir topolojik özellik olduğundan bu bir  çelişkidir.

Bu da iddiayı ispatlar.