g(x):=f(x)
kuralı ile verilen
g:X∖A→Y∖f[A]
fonksiyonunun
(τX∖A-τ′Y∖f[A]) homeomorfizma olduğunu göstermek için
g fonksiyonunun
1. bijektif,
2. (τX∖A-τ′Y∖f[A]) sürekli,
3. (τX∖A-τ′Y∖f[A]) açık
olduğunu göstermeliyiz.
1. f fonksiyonu (τ-τ′) homeomorfizma olduğundan f fonksiyonu bijektiftir. Dolayısıyla g(x):=f(x) kuralı ile verilen g:X∖A→Y∖f[A] fonksiyonunun bijektif olduğunu görmek zor olmasa gerek.
2. g fonksiyonunun (τX∖A-τ′Y∖f[A]) sürekli olduğunu gösterelim.
V∈τ′Y∖f[A] olsun. (g−1[V]∈τX∖A olduğunu göstermeliyiz)
V∈τ′Y∖f[A]⇒(∃T∈τ′)(V=T∩(Y∖f[A]))f, (τ-τ′) homeomorfizmag:X∖A→Y∖f[A], g(x):=f(x)}⇒
⇒(f−1[T]∈τ)(g−1[V]=f−1[V]=f−1[T∩(Y∖f[A])]=f−1[T]∩f−1[(Y∖f[A])])=f−1[T]∩(X∖f−1[f[A]])=f−1[T]∩(X∖A))
⇒g−1[V]∈τX∖A.
3. g fonksiyonunun (τX∖A-τ′Y∖f[A]) açık olduğunu gösterelim.
U∈τX∖A olsun. (g[U]∈τY∖f[A] olduğunu göstermeliyiz)
U∈τX∖A⇒(∃T∈τ)(U=T∩(X∖A))f, (τ-τ′) homeomorfizmag:X∖A→Y∖f[A], g(x):=f(x)}⇒
⇒(f[T]∈τ′)(g[U]=f[U]=f[T∩(X∖A)]=f[T]∩f[X∖A]=f[T]∩(f[X]∖f[A])=f[T]∩(Y∖f[A]))
⇒g[U]∈τ′Y∖f[A].