Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi

(X,τ),(Y,τ) topolojik uzaylar ve fYX olmak üzere

f, (τ-τ) homeomorfizma

(AX)(g:XAYf[A], g(x):=f(x), (τXA-τYf[A]) homeomorfizma)

olduğunu gösteriniz.


İlk hali alttaki gibi olan soru, Doğan hocamın önerisine binaen üstteki gibi güncellenerek soru daha genel bir şekle dönüştürülmüştür.


(X,τ),(Y,τ) topolojik uzaylar ve fYX olmak üzere

f, (τ-τ) homeomorfizma

(xX)(g:X{x}Y{f(x)}, g(x):=f(x), (τX{x}-τY{f(x)}) homeomorfizma)

olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi

Bu durum daha genel olarak herhangi bir alt küme için de geçerli olmaz mı?

Soruyu öneriniz doğrultusunda güncelledim hocam. Katkınız için teşekkür ederim.

"Elimizde homeomorfik uzaylar var diyelim. Bu uzaylardan birinden bir altküme çıkarsak, diğerinden de o altkümeye karşılık gelen altkümeyi çıkarsak, geriye kalan uzaylar indirgenmiş topolojileri ile homoemorfik olurlar". Soru bu dimi?


Evet soru bu. Soruyu Matematikçe(!) yazdım. Sizin yorumda yazdığınız da benim sorduğum sorunun Türkçesi.

Ben (eksik söylemişim) şunu demek istemiştim.

Soru (A yerine XA yazılarak) (alt uzay topolojileri ile)

"Her AX için g=fA:Af(A) bir homeomorfizmadır" 

şeklinde biraz daha kısa yazılabilir. 

Doğan hocam sizin de yorumunuzda ifade ettiğiniz gibi soruyu çok daha sade bir şekilde sorabilirdim.  Ancak soruyu sorarken aklımda hep buradaki soruya bir ön hazırlık olması düşüncesi olduğundan g:Af[A] yerine g:XAYf[A] yazmaktan kendimi alıkoyamamışım. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

g(x):=f(x)

kuralı ile verilen g:XAYf[A]
fonksiyonunun (τXA-τYf[A]) homeomorfizma olduğunu göstermek için g fonksiyonunun 

1. bijektif, 

2. (τXA-τYf[A]) sürekli, 

3. (τXA-τYf[A]) açık 

olduğunu göstermeliyiz.


1. f fonksiyonu (τ-τ) homeomorfizma olduğundan f fonksiyonu bijektiftir. Dolayısıyla g(x):=f(x) kuralı ile verilen g:XAYf[A] fonksiyonunun bijektif olduğunu görmek zor olmasa gerek.


2. g fonksiyonunun (τXA-τYf[A]) sürekli olduğunu gösterelim.

VτYf[A] olsun. (g1[V]τXA olduğunu göstermeliyiz)


VτYf[A](Tτ)(V=T(Yf[A]))f, (τ-τ) homeomorfizmag:XAYf[A], g(x):=f(x)}


(f1[T]τ)(g1[V]=f1[V]=f1[T(Yf[A])]=f1[T]f1[(Yf[A])])=f1[T](Xf1[f[A]])=f1[T](XA))


g1[V]τXA.


3. g fonksiyonunun (τXA-τYf[A]) açık olduğunu gösterelim.

UτXA olsun. (g[U]τYf[A] olduğunu göstermeliyiz)


UτXA(Tτ)(U=T(XA))f, (τ-τ) homeomorfizmag:XAYf[A], g(x):=f(x)}


(f[T]τ)(g[U]=f[U]=f[T(XA)]=f[T]f[XA]=f[T](f[X]f[A])=f[T](Yf[A]))


g[U]τYf[A].

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Homeomorfizmaya Dair-VI
Homeomorfizmaya Dair-VII
20,313 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,862,658 kullanıcı