devirli grup olma şartları

Question

devirli grup nasıl bulunur.devrli grup olma şartlarını anlaşılır şekilde açıklayabilirmisiniz.(Q,+) neden devirli grup değil

Answer 1

$(\Bbb{Q},+)$ grubunun devirli olduğunu kabul edelim. Bu durumda $\Bbb{Q}=<\frac{p}{q}>$ olacak şekilde $\frac{p}{q}\in \Bbb{Q}$ vardır. Burada $p$ ve $q$ yu aralarında asal seçebiliriz. Diğer taraftan kabulden; $\frac{p}{2q}\in \Bbb{Q}$ için $\frac{p}{2q}=n\frac{p}{q}$ olacak şekilde $n\in \Bbb{Z}$ vardır. Buradan $n=\frac{1}{2}\in \Bbb{Z}$ olur ki bu bir çelişkidir. O halde $\Bbb{Q}$ devirli değildir.

Comments

Peki $( \mathbb{Q} ^ {\ast} , \cdot)$  devirli midir?

---

$\Bbb{Q}^{\star}$ çarpma işlemi altında devirli olmaz. Aksini kabul edelim. $\Bbb{Q}^{\star}=<\frac{a}{b}>$ olsun ve $a~,b$  yi aralarında asal alalım-ki böyle seçmemizde bir sıkıntı yoktur. $x\in \Bbb{Q}^{\star}$ için $x=\displaystyle\big(\frac{a}{b}\big)^{n}$ ve $\frac{1}{x}=\frac{b^{n}}{a^{n}}=\frac{a^{k}}{b^{k}}$ buradan $a$ ile $b$ nin aralarında asal olmasıyla çelişiriz.