Question

Alt grupların birleşimi de neden alt grup olmaz?

Answer 1

Birim elemani olur, ters eleman da olur. $a(bc)=(ab)c$ de saglanir. Geriye kapalilik kaliyor.

$S_3$'ten $3$ elamanli ve $2$ elemanli (herhangi bir) altgurubu alirsak, birlesim $4$ elemanli yapar. (lakin $4 \not | 6$) 

$H=\{e,(123),(132)\}$ ve $K=\{e,(12)\}$ alirsak $(123)(12)=(13)$ olur.

Comments

http://matkafasi.com/930/normal-altgruplarda-altgrup-sarti-kaldirilirsa

Bu link de incelenebilir.

---

tesekkür ederim.

Answer 2

Iki altgrubun birlesimi altgrup olabilir. Ama cok istisnai durumlarda. 

$\star \star \star $ Iki altgrubun birlesimi de bir altgruptur ancak ve ancak biri digerini iceriyorsa...

Altgruplardan biri digerini iceriyorsa, birlesimleri buyuk olan altgrup olacagi icin birlesim de bir altgruptur diyebiliriz.

Ote yandan, $A$ ve $B$, $G$'nin iki altgrubu olsun. Ve $A \cup B$'nin de bir altgrup oldugunu varsayalim. $A \subset B$ ise sikinti yok. O halde $A \not\subset B$ oldugunu varsayalim ve $B \subset A$ olmasi gerektigini gosterelim. Simdi, elimizde $a \in A \setminus B$ olacak sekilde bir $a \in A \cup B$ elemani var. $b \in B \subset A \cup B$ alalim. Birlesimin altgrup oldugunu kabul ettigimiz icin, $a+b \in A \cup B$'dir. Bu da demek oluyor ki $a + b \in A$ ya da $a + b \in B$. $a + b \in B$ olsaydi, $- b \in B$ oldugu icin, $a + b - b = a \in B$ olurdu. Demek ki, $a + b \in B$ degil. O halde, $a + b \in A$. Dolayisiyla, $b = a+ b -a \in A$. Yani, $b \in A$. $b \in B$, keyfi bir eleman oldugu icin $B \subset A$ oldugunu gostermis olduk.

Comments

aynen ispatını düşünememiştim teşekkür ederim.

Answer 3

Surdaki ornek de kullanilabir karsit ornek icin.

http://matkafasi.com/122392/iki-grubun-birlesimi-neden-grup-degildir?state=edit-122394

$A=\{x|x=2n,n\in \mathbb{Z}\}=\{0,\mp2,\mp4,\dots\}$ ve

$B=\{x|x=3n,n\in \mathbb{Z}\}=\{0,\mp3,\mp6,\dots\}$ olsun.

 $(A,+)$  ve $(B,+)$ nin grup oldugu asikar(?)

Ve   $(A,+)<\mathbb{(Z,+)}$ ve $(B,+)<\mathbb{(Z,+)}$ dir(?).

Fakat $(A\cup B,+)=\{0,\mp2,\mp3,\mp4,\mp6,\dots\}$ grup degildir ve sonuc olarak altgrup degildir. Yani $(A\cup B,+)\nless \mathbb{(Z,+)}$