Sonlu bir grup, bir öz alt grubunun eşleniklerinin birleşimi olamaz

Question

$G$ sonlu bir grup $H\neq G,\ G$ nin bir alt grubu olsun.

$$G\neq\bigcup_{g\in G}gHg^{-1}$$ olduğunu gösterin.  İspat için bir altgrubun eşleniklerini  sayabilmek yeterli. 

Ama sonsuz bazı gruplarda eşitlik olabiliyor. Cartan ın Maksimal Torus Teoremine göre $G$, yarıbasit (semisimple) kompakt (tıkız) ve bağlantılı bir Lie grubu ve $T,\ G$ nin maksimal torusu (dolayısıyla maksimal torusu kapsayan herhangi bir alt grubu) için $G=\bigcup_{g\in G}gTg^{-1}$ olur.Bu eşitlik, örneğin, her ortogonal matrisin köşegenleştirilebileceği sonucunu verir

Answer 1

$|H|=k$ ve $|G|=kn$ olsun. O zaman en fazla $n$ tane farkli eslenik sinifi olabilir (normal altguruplar icin $1$ tanedir hatta!) ve bunlarin hepsi $1$'i iceriyor. O halde birlesimin eleman sayisi $\leq nk-(n-1)$.  Bunun $kn$ olabilmesi icin tek sart $n=1$ olmali, ki ozalt grup kosulunu bozar bu da.

Comments

Güzel ama, "en fazla $n$ tane eşlenik sınıfı olabilir" daha açık ve kesin bir şekle getirilebilir herhalde. Eşleniklerin tam sayısının bir formülü var.

 tane farkli eslenik sinifi olabilir 

---

$G$ icinde $H$'nin normalleyen altgrubdan elemanlar $H$'yi oynatmaz ve iki eleman $H$'nin normalliyeninden bir eleman kadar farklilarsa ayni eslenik sinifini verecekler. O halde eslenik sinifi sayisi $|G|/|N_G(H)|$ olacak.

---

Evet, kesin bir sekilde var. Bilerek eklemedim onu. Az bilgili ispatlar daha hos geliyor bana. 

---

Şimdi tamam oldu.