Cisimlerde en az iki eleman olmasi

Question

$0$ halkasi: $0$ hem toplamaya gore, hem carpmaya gore birim eleman oluyor, tum ozelligi de sagliyor. Sorum su:1 elemanli cisim var mi? ya da neden buna cisim demiyoruz da en az iki eleman sarti istiyoruz?

$0$ halkasi icin ek: Bu tarz sorular biraz tartismali olabiliyor.  Ben referans olarak "Commutative Algebra-Atiyah" kitabinin ilk sayfasini referans olarak veriyorum.

Answer 1

Sifir halkasini bir cisim olarak gormek istiyor muyuz pek emin degilim:

• Sifir halkasi uzerinde bir cok cebirsel yapi ilgincligini yitiriyor: Ornegin tum moduller $\{0\}$ modulune, tum genislemeler/cebirler sifir halkasinin kendisine izomorf. Bu durum sifir halkasinin belki de bir halka olarak gorulmesinin bile sorgulanmasi gerektigini dusunduruyor.
• Bir $K$ cismi icin $K \setminus \{0\}$'in bir grup olmasini bekleriz. (Ornegin $1 \neq 0$ aksiyomu da bununla alakali.) Belki bu beklentiyi "bir cismin carpimsal monoidi bir gruptur" seklinde dile getirmek daha cazip gelebilir, ki bu durumda sifir halkasi bu kosulu saglar; ancak o zaman da $\mathbb{F}_2^\times \simeq \{0\} $ oldugundan artik sonlu halkalari carpimsal gruplarina bakarak ayirt edemeyiz.
• Cisimler arasindaki halka morfizmalarinin bire bir oldugu cok ise yarayan bir ozelliktir. Eger sifir halkasini bir cisim olarak gorursek her $K$ cisminden sifir halkasina giden, tum elemanlari $0$'a goturen morfizma bire bir olmadigindan bu ozelligi kaybederiz.
  
• Cisimlerin karakteristiklerinin $\mathbb{Z}$'nin asal idealleri ile eslesmesini isteriz: $K$ cisminin karakteristigi $\mathbb{Z}$'den $K$'ye giden biricik halka morfizmasinin cekirdegi olarak tanimlanabilir. Burada asal ideallerin tanimi hakkinda bir tartisma acmak istemiyorum, ama (ornegin bos bir semanin var olmasini istememiz gibi sebeplerden dolayi) asal ideallerin ozidealler olmasini bekleriz. Bu durumda da $\mathbb{Z}$'den sifir halkasina giden morfizmanin cekirdegi asal bir ideal degildir.

Sifir halkasini bir kenera birakirsak, $\mathbb{F}_1$ diye bir seyden bahsedenler var: Wikipedia, nlab. Ancak burada belli bir nesneden ziyade $p$ karakteristigindeki cesitli durumlardan esinlenerek yapilan matematik soz konusu.

Answer 2

Çünkü $1=0$ olan yapı, cisim nedir tanımlamadan önce bildiğimiz, cisim tarifini yaptıktan sonra "işte bunlar da örnekler" dediğimiz yapıların jenerik özelliklerini sağlamıyor. Mesela tanımı "değişmeli halka, sıfır dışındaki bütün elemanların tersi var" biçiminde verseydik $1=0$ olan yapı da cisim olacaktı ama

-bütün diğer cisimlerin aksine iyi tanımlı bir karakteri olmayacaktı;
-her cismin (sonlu ya da sonsuz) altcismi olacaktı, ama onu içeren cismin $1$ elemanlı altcisim üzerine bir bazı olmayacaktı, vs.

Kısaca cisim tanımını bildiğimiz cisimlerin belli başlı özellikleri sahip olacak yapıları tarif edebilecekbiçimde vermek istiyoruz ve $1=0$ olan cisime izin verdiğimiz zaman o istediğimiz özellikleri genelleştiremiyoruz.

Salih'in sözünü ettiği "bir elemanlı cisim" hikayesi de aslında tam da bu biçimde sorulan bir sorunun çevresinde dönen bir matematik. Eğer "ya $1$ elemanlı cisim olsa böyle olurdu" diyebileceğimiz bir obje olsaydı, ne menem bir şey olurdu ile başlayıp devam eden bir külliyat (Salih'in anlamadığından da çok anlamıyorum ben de)

Answer 3

"Halka" kavramı konusunda tam bir uzlaşı yoktur. Halka'nın tanımı kitaba, yazara ve ilgi alanına göre değişir. Bu yüzden kitapların başında hep halkadan ne anlaşıldığı söylenir. Hatta bazen her bölümün başında ayrı bir halka tanımı yapılabilir. Ama çoğu zaman halkalarda çarpmanın birim elemanı (yani 1 elemanı) olduğu ve birim elemanın toplamanın etkisiz elemanından (yani 0'dan) farklı olduğu varsayılır. Bu varsayım, halkanın en az iki elemanı olmasıyla eşdeğerdir, çünkü $1=0$ ise halkanın her $r$ elemanı için, $$r=1r=0r=0$$ olur. Hele cisim sözkonusu olduğunda $1\neq 0$ koşulu her zaman kabul edilir. Dolayısıyla bir cisimde her zaman, her kitapta ve her durumda en az 2 eleman vardır.

Comments

Son yillarda 1 elemanli cisimden bahseden bir kac konusma dinledim fakat birsey anlamadim. 

---

Neden herkes bu konuda hemfikir? Dedigin gibi, halkalarda bir kavram karmasasi cidden var bu konuda, ama cisimlerde bu karmasayi tamamen eliyorlar. 

Turkesi nedir tam emin degilim, degismeli bolum halkasi "commutative division ring" olarak da geciyor cisim. Acaba gercek tanimi bu da, digeri $0$ haric esdegeri mi? 

Eger gercek tanim "commutative division ring" ise? Bu fazladan bi eleman katmayi gerektirir mi, bu da var. Yine ayni yer.

Bir de karakteristik kavrami var. Yani eger cisimler bir karakteristikle, bastan 1'i alarak basladiysa, is degisir. Baslangic noktasi bu olabilir.

---

Kavram karmaşası filan yok. Bu konuda tartışma, kavga,, çatışma, ayrılık filan da yok. Kavram, özellikle muğlak bırakılıyor ki herkesin bir işine yarasın. Halka demek, üstünde iki adet ikili işlemi olan bir küme demektir. Bu iki işlem çeşitli eşlitlikleri sağlar ya da sağlamaz. İsteyen istediğini kabul eder, yeter ki ta başında söylesin.

Hatta bir de "ternary ring" diye bir kavram vardır. İzdüşüm geometrisinden çıkar. Bu tür halkalarda iki tane ikili işlem yerine bir tane üçlü işlem tanımlanır, bir nevi $(x,y,z) \mapsto xy+z$ işlemine tekabül eden üçlü bir işlem.

---

kavram karmasasi derken, yani isine geldigi anlamda alinma, mutlak bir sekilde davranilmamasi. Adamin kullanacagi ornekte $0$'da vardir, halka der gecer. Hatta biri $0^0=1$ olarak tanimlar yeri geldiginda.

---

Cisimlerde (yani "commutative division ring"lerde) benim bildiğim her zaman $0\neq 1$ varsayımı yapılır.