Bir cisim içeren halkanın yapısı hakkında

Question

Diyelim ki $k$ cebirsel kapalı (algebraically closed) bir cisim ve $R$ de $k$ cismini içeren bir halka (ring) olsun. Dahası $R$ halkası $k$ üzerinde sonlu boyutlu olsun. Bu durumda,

• $I=(f_1,\dots,f_m)$ için, $f_i$'lerin sonlu ortak çözümü vardır
  
• $R\cong k[x_1,\dots,x_n]/I$
  

olacak şekilde bir $I$ ideali var mıdır?

---

Eğer varsa bu $I$'nın maksimal olmasını beklemiyoruz tabii ki, çünkü $R$ bir cisim (field) olmak durumunda değil.

---

Bu inşaada cisim genişlemelerini düşünerek böyle bir işlem yaptım. Ayrıca $f_i$'lerin sonlu ortak çözümü olması, boyutun sonlu olmasına karşılılk.

---

İfadenin nereden geldiğini ve ne işe yarayacağını görmek için: Bir cisim içeren halka, yerel halkaların doğrudan çarpımı olarak yazılabilir.