Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
803 kez görüntülendi

$\mathbb{Q (x)}$ :Rasyonel (kesirli)  sayı katsayılı rasyonel fonksiyonların (polinomların oranı) cismi olsun.

 Bu cisimde :

$\begin{align}\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}\Leftrightarrow &(P(x)S(x)-Q(x)R(x))\text{ in başkatsayısı ile } \\&Q(x)S(x)\text{ in başkatsayısı aynı işaretli }\end{align}$

(daha kısa: $\frac{P(x)}{Q(x)}>0\Leftrightarrow P(x)\text{ in başkatsayısı ile } Q(x)\text{ in başkatsayısı aynı işaretli }$)

Bir cisim sıralaması (toplama ve çarpmaya "saygı duyan" (koruyan)) tanımlar mı?

Tanımlıyor ise bu cisimde Arşimet özelliği sağlanır mı?

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 803 kez görüntülendi

$\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}$  ve  $\frac{M(x)}{N(x)}>0$ olsun. 

Gösterilmesi gereken şu: $$\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot \frac{M(x)}{N(x)}\overset{?}{>}\frac{R(x)}{S(x)}\cdot\frac{M(x)}{N(x)}$$


$$\frac{M(x)}{N(x)}>0$$

$$\Rightarrow$$

$$M(x) \text{ ile } N(x)\text{'in başkatsayıları aynı işaretli}$$

$$\Rightarrow$$

$$[M(x) \text{ ile } N(x)\text{'in başkatsayıları pozitif}] \vee [M(x) \text{ ile } N(x)\text{'in başkatsayıları negatif}]$$

I. Durum: $M(x)$  ile  $N(x)$'in başkatsayıları pozitif olsun.

Bu durumda  $$\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}$$ yani  $$P(x)\cdot S(x)-Q(x)\cdot R(x)$$ ile $$Q(x)\cdot S(x)$$ polinomlarının başkatsayıları aynı işaretli olduğundan

$$M(x)\cdot N(x)\cdot [P(x)\cdot S(x)-Q(x)\cdot R(x)]$$ ile $$Q(x)\cdot S(x)\cdot N^2(x)$$ polinomlarının da başkatsayıları aynı işaretli olur. Buradan da 

$$\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot \frac{M(x)}{N(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}\cdot\frac{M(x)}{N(x)}$$ elde edilir.

II. Durum: $M(x)$  ile  $N(x)$'in başkatsayıları negatif olsun. I. duruma benzer şekilde gösterilir.

Dolayısıyla yukarıdaki gibi tanımlanan sıralama ÇARPMAYA saygı duyar.

$\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}$  ve  $\frac{M(x)}{N(x)}\in \mathbb{Q}(x)$ olsun.

Gösterilmesi gereken şu:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}+\frac{M(x)}{N(x)}\overset{?}{>}\frac{R(x)}{S(x)}+\frac{M(x)}{N(x)}$$

$$\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}$$

$$\Rightarrow$$

$$P(x)\cdot S(x)-Q(x)\cdot R(x) \ \text{  ile  }  \ Q(x)\cdot S(x) \text{ polinomunun başkatsayısı aynı işaretli}$$

$$\Rightarrow$$

$$[P(x)\cdot S(x)-Q(x)\cdot R(x)]\cdot N^2(x) \ \text{  ile  }  \ Q(x)\cdot S(x)\cdot N^2(x) \text{ polinomunun başkatsayısı aynı işaretli}$$

$$\Rightarrow$$

$\begin{equation*}[P(x)\cdot N(x)+Q(x)\cdot M(x)]\cdot S(x)\cdot N(x)-[R(x)\cdot N(x)+S(x)\cdot M(x)]\cdot Q(x)\cdot N(x) \\ \text{  ile  }  \ Q(x)\cdot S(x)\cdot N^2(x) \text{ polinomunun başkatsayısı aynı işaretli}\end{equation*}$

$$\Rightarrow$$

$$\frac{P(x)\cdot N(x)+Q(x)\cdot M(x)}{Q(x)\cdot N(x)}>\frac{R(x)\cdot N(x)+S(x)\cdot M(x)}{S(x)\cdot N(x)}$$
$$\Rightarrow$$
$$\frac{P(x)}{Q(x)}+\frac{M(x)}{N(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}+\frac{M(x)}{N(x)}$$
elde edilir. Dolayısıyla yukarıdaki gibi tanımlanan sıralama TOPLAMAYA da saygı duyar.

Yukarıdaki gibi tanımlanan sıralama bağıntısı hem toplamaya hem de çarpmaya saygı duyduğundan $$(\mathbb{Q}(x),+,\cdot,>,0,1)$$ altılısı bir sıralı cisimdir. Şimdi bu sıralı cismin Arşimet özelliğini sağlayıp sağlamadığını düşünebiliriz. Arşimet özelliği sağlanmıyorsa sıralı cisimde en az bir tane sonsuz küçük var demektir.

Aslında şu üçünü göstermek yeterli (ve biraz daha kolay):

1.$\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ ya da $-\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ ya da $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ (veya değil. Sadece biri doğru olmalı)

2. $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ ve $\frac{R(x)}{S(x)}>0$  ise  $\frac{P(x)}{Q(x)}+\frac{R(x)}{S(x)}>0$ olur.

3. $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ ve $\frac{R(x)}{S(x)}>0$  ise  $\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot\frac{R(x)}{S(x)}>0$ olur.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$x=\frac x1\in\mathbb{Q}(x)$ ve $\forall n\in\mathbb{N}$ için (bu tanıma göre) $x>n$ olur.

Dolayısıyla bu sıralı cisim Arşimet Özelliğini sağlamaz.

(6.2k puan) tarafından 

Okuyuculara ilave bilgi: (Aslında pek de bir ilave yok)

$(\mathbb{F},+,\cdot,\leq,0,1)$ sıralı cisim olmak üzere

$$(\mathbb{F},+,\cdot,\leq,0,1) \text{ Archimedean}:\Leftrightarrow(\forall x\in \mathbb{F})(\exists n\in \mathbb{N})(x\leq n)$$

$$(\mathbb{F},+,\cdot,\leq,0,1) \text{ Archimedean değil}$$$$:\Leftrightarrow$$$$ \neg[(\forall x\in \mathbb{F})(\exists n\in \mathbb{N})(x\leq n)]$$$$\Leftrightarrow $$$$(\exists x\in \mathbb{F})\neg(\exists n\in \mathbb{N})(x\leq n)$$$$\Leftrightarrow $$$$(\exists x\in \mathbb{F})(\forall n\in \mathbb{N})\neg(x\leq n)$$$$\Leftrightarrow $$$$(\exists x\in \mathbb{F})(\forall n\in \mathbb{N})(x>n)$$

Bu soruda da $$\left(\exists \frac{P(x)}{Q(x)}\in\mathbb{Q}(x)\right)(\forall n\in \mathbb{N})\left(\frac{P(x)}{Q(x)}>n\right)$$ önermesi doğru olduğundan $(\mathbb{F},+,\cdot,\leq,0,1)$ sıralı cismi Archimedean değildir.

Sonsuz küçük (infinitesimal) nedir? Nasıl tanımlanır?
20,246 soru
21,768 cevap
73,412 yorum
2,127,301 kullanıcı