İki değişkenli fonksiyonun ekstrem değerleri

Question

Matematik ÖABT seviyesine uygun bir bir problem sunalım.

Problem: $F(x,y)=xy - 3x +4y +7 $ fonksiyonunun $$ B = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 | \quad -6\leq x \leq 3, \quad -3 \leq y \leq 4 \} $$ bölgesi üzerindeki en büyük değeri $a$, en küçük değeri $b$ olduğuna göre $a-b$ farkı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 50\qquad\textbf{b)}\ 54  \qquad\textbf{c)}\ 57 \qquad\textbf{d)}\ 61 \qquad\textbf{e)}\ 62 $

Comments

$xy-3x+4y+7=(x+4)(y-3)+19$ oluşu işi kolaylaştrır.

---

Buna göre yanıt 54 çıkıyor. 

---

Yanıt: $\boxed{B}$

Türev yöntemi deneyince pek iş görmeyecektir. Doğan Dönmez hocam teşekkürler, sorunun kritik kısmını açıklamış. $a-b$ farkı istenince fonksiyonun sabit teriminin ($7$, $19$ veya $2019!$ farketmez) önemi kalmaz. Çözüm sayfası boş kalmasın diye çözümü de girmek isterseniz, yazabilirsiniz.

Not: sehven cevabı D vermiştim. B olarak güncelliyorum.

Answer 1

Verilen eşitsizlikleri kullanarak $$-2\le x+4\le7 ,      -6\le y-3\le1$$  elde edilir. Buradan $$-42\le (x+4)(y-3)\le 12$$  olduğunu görmek kolaydır. Buna göre $$f_{maks}-f_{min}=54$$ bulunur.

Comments

Son eşitsizliği $-23\leq (x+4)(y-3)+19\leq 31$ olarak yazsaydık sanki daha hoş olurdu. Yine de ellerinize  sağlık.