Pürüzsüz iki değişkenli bir fonksiyonun tek bir minimumu var ve başka hiç bir kritik noktası yok ve tüm izdüşüm (eşyükseklik=kesit) eğrileri basit kapalı eğriler ise global minimumu var mıdır?

Question

Doğru olduğunu tahmin ediyorum ama henüz tatmin edici bir ispatını bulamadım.

İspatını buldum ve yazdım.

Answer 1

$P_0(x_0,y_0),\ f(x,y)$ pürüzsüz fonksiyonunun biricik kritik noktası ve burada bir yerel minimum olsun. $f$, sabit olamayacağı için $f(x_1,y_1)\neq f(x_0,y_0)$ olacak şekilde bir $(x_1,y_1)$ alalım.

Kabulümüzden, $f(x,y)=f(x_1,y_1)$ eşyükseklik eğrisi bir basit kapalı eğridir. Jordan ın Eğri teoreminden, bu eğrinin içi ve dışı vardır ve eğrinin içi ve eğri birlikte (birleşimi) kompakt (=tıkız) bir bölge olur. Bu bölgeye $B$ diyelim.

$B$ kompakt, $f$ sürekli olduğundan, $f$ bu bölgede bir noktada maksimuma ve bir noktada minimuma erişir.

Maksimuma sınırda (eşyükseklik eğrisi üzerinde) erişir, çünki içte erişiyor olsa, bir yerel maksimum, dolayısıyla bir kritik nokta daha var olurdu (aslında burada biraz dikkatli olmak gerekir. Bir noktada hem yerel minimuma erişmek mümkündür ama o durumda fonksiyon bir açık kümede sabit olur ve sonsuz çoklukta kritik nokta var olurdu).

Ayrıca bunun sonucu olarak, minimumun sınırda olamayacağını da görüyoruz, çünki minimum da sınırda olsa fonksiyon tüm bölgede sabit olur ve yine sonsuz çoklukta kritik noktası var olurdu.

Minimum içte olduğu için bir kritik noktadır ve dolayısıyla $P_0$ noktasındadır.

Öyleyse minimum içte (ve $P_0$ da), maksimum ise sınırda  olmak zorundadır.

Sonuç olarak $f(x_1,y_1)>f(x_0,y_0)$ olduğunu gösterdik! 

(İspattan görüyoruz ki, eşyükseklik eğrilerinin basit kapalı eğri olması durumunda, $f$ nin çok fazla türevlenmesine de gerek yok )

Comments

Ne zaman tum esyukseklik egrileri basit kapali egrilerdir?

---

Eger fonksiyon guzel bir sekilde sonsuza gidiyorsa orijinden uzaklastikca, o zaman sonuc yine olumlu.

Sorunun cikis noktasi olan $2x^2 + y^2 - 2x$ polinomu boyle bir fonksiyon. Bir sure sonra fonksiyon $x^2 + y^2$ gibi davranmaya basliyor ve ona gore buyuyor. Diyelim yaricapi 1000 olan cemberin disinda, fonksiyon $x^2 + y^2$ gibi davraniyor. O yuzden cemberin disini dusunmemize gerek yok. Kapali disk icerisinde ise tikizliktan dolayi fonksiyon minimumuna erismek durumunda. 

1. Eger bu minimuma diskin ic bolgesinde $(x_0, y_0)$'dan baska bir noktada erisilseydi, o zaman o nokta bir kritik nokta olacakti. Buna izin vermiyoruz. 

2. Eger bu minimuma sinirda erisiliyorsa, o zaman diskin yaricapini birazcik daha buyutup bu noktayi iceri cekebiliriz ve bir onceki argumani (1. ) uygulayabiliriz (orijinal diskimizin disinda guvende oldugumuzdan, yeni olusturdugumuz diskte minimum sinirda yer alamaz.)

Ilk durum mumkun degil, ikinci durum ise birinci duruma indirgenebiliyor. Demek ki, tek kritik noktamiz aslinda global minimumun alindigi noktaymis.