Eşitsizlik hata nerde

Question

0<a<4 olsun.

$a^2-2a+6$ değer aralığı nedir?

1. Çözüm: $5<(a-1)^2+5<14$

2. Çözüm: $0<a^2<16 \\ -2<-2a+6<6 \\ +.................. \\ -2<a^2-2a+6<22$

Hata nerde? 

Comments

Birinci çözümü nasıl yaptınız? 

---

Hocam klasik çözüm o. Her tarafa -1 ekleyip karesini alıp 5 ekledim.

---

$a=1$ alınca 5 bulmuyor muyuz?

---

$0<a<4\rightarrow -1<a-1<3\rightarrow 0\leq (a-1)^2<9$ olmalı değil mi?

---

İkinci çözüm hatalı. (Birincide  $5\leq a^2-2a+6<14$ olarak değişince doğru olacak.

$m<a^2-2a+16<n$ olması $a^2-2a+6$ $m$ ile $n$ arasındaki her değeri alacağını garanti etmez.

---

Doğan hocam değer aralığından bir sayı seçersek 2. Çözüm hatalıdır deriz ama hata ne ki?

Mehmet hocam evet öyle. Ama istenen ifade $(a-1)^2+5$ bu yüzden 5 eklersek $5<a^2-2a+6<14$ olacaktır.

---

Hata şurada: $f(x)\geq a$ nin doğru olması $f$ nin $a$ değerini alacağını anlamına gelmez.

---

Alt sınırda eşitlik olmalı. Ayrıca $f(a)=(a-1)^2+5$ parabolünün tepe noktası $(1,5)$ noktasında olup bu parabolün $0<a<4$ aralığındaki en büyük değeri de $14$ dür. yani $5\leq f(a)<14$ olmalı.

---

Hocam anlamadım ya ikinci de de eşitsizliklerde toplama çıkarma tanımlıdır diye biliyorum. Orda neden hatalı çıkıyor? Aynı sonucu neden vermiyor?

---

2. yaptığınız çözümdeki yanlışınız $a^2$ ve $-2a+6$  ifadelerini ayırmak. $0<a^2<16$ ifadesi en büyük değerini $a$ sayısı $4$'e en yakın olduğunda alır ama $-2<-2a+6<6$ en büyük değerini $a$ sayısı $0$'a yakın olduğunda alır. bu ifadeler birbirine bağlı olduğundan bunları ayırdıktan sonra toplayamayız.