Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

Her $x_i$ pozitif reel sayı ise

$(x_1+x_2+\cdots+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n})\geq n^2$

olduğunun ispatı. üstünde biraz düşündüm ama aklıma payda eşitlemekten başka bir şey gelmedi, payda eşitlenerek bulunamayacağını düşündüm. harmonik ortalama ve aritmetik ortalama eşitsizlikleri kullanılarak yapılabiliyor ama faha farklı bir ispatı var mı ?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (194 puan) tarafından  | 1.5k kez görüntülendi

soru direkt harmonik-geometrik-aritmatik ortalama eşitsizliklerini biraz degiştirmesine oturtulmuş gibi gözüküyor, başka çözüm için matematik induksiyon denenebilir.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Her $a,b>0$ gerçel sayısı için $\frac ab+\frac ba\geq2$ olduğunu ( ve eşitlik yalnızca $a=b$ iken sağlanır) göstermek zor değildir.

$\begin{align}&(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)\\&=n+\left(\frac {x_1}{x_2}+\frac {x_2}{x_1}\right)+\cdots+\left(\frac {x_{n-1}}{x_n}+\frac {x_n}{x_{n-1}}\right)\end{align}$

olur. Sağdaki parantezlerin sayısı $\binom{n}{2}=\frac12n(n-1)$  ve her biri  $\geq2$ olduğundan, 

$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)\geq n+n(n-1)=n^2$$ elde edilir.

 (Eşitliğin, yalnızca, $x_1=x_2=\cdots=x_n$ iken sağlandığı da, ilk satırdaki nottan elde edilir)

(6.2k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Farklı bir yol olarak Cauchy- Schwarz eşitsizliği  kullanılabilir


$ a_1,a_2,\dots , a_n $ ve $ b_1,b_2,\dots , b_n $ gerçel sayıları için

$ (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$

eşitsizliği vardır. Eşitlik durumu ancak ve ancak $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}= \cdots = \dfrac{a_n}{b_n} $ iken vardır.

Burada $a_i=\sqrt{x_i}$ ve $b_i=\dfrac{1}{\sqrt{x_i}}$ ($i=1,2, \dots, n $) alınırsa 

$(1 + 1 + \cdots + 1)^2 \leq (x_1 + x_2 + \cdots +x_n)(\dfrac{1}{x_1} +\dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n} ) $

elde edilir. Sol tarafta $n$ tane $1$ toplandığından istenen eşitsizlik elde edilir.

(2.6k puan) tarafından 
20,220 soru
21,752 cevap
73,355 yorum
1,994,625 kullanıcı