Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
726 kez görüntülendi
Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 726 kez görüntülendi

2 Cevaplar

11 beğenilme 0 beğenilmeme
Yukarıdaki çözümdeki

\[\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos x}{x}dx\]
ıraksak olduğundan
\[\int_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{ix}}{x}dx\]
integrali de ıraksaktır (kontür integral tekniği dikkatli kullanılmalıdır).

Bu çözümde

\[\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}\]
eşitliğini Reel analiz metodları ile gösterelim. Kullanacağımız bilgiler:

1) Riemann-Lebesque lemması : $f$, $\left( a,b\right) $ aralığında integrallenen ise,
\[\lim_{p\rightarrow \infty }\int_{a}^{b}f\left( x\right) \sin pxdx=0.\]

2) $\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+...+\cos nx=\frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}%
x\right) }{2\sin \frac{x}{2}}.$

Sonuncu eşitlikten, her $n\in \mathbb{N}$ için

\[
\int_{0}^{\pi }\frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}x\right) }{2\sin \frac{x}{2}}%
dx=\frac{\pi }{2}
\]
elde edilir.

Ayrıca
\[\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\]

fonksiyonunun $\left( 0,\pi \right) $ aralığında integrallenen olduğu kolayca görülür.

Riemann-Lebesque lemmasına göre,

\[
\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\pi }\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{2\sin
\frac{x}{2}}\right) \sin \left( \frac{2n+1}{2}x\right) dx=0
\]

olur. Buradan

\[
\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\pi }\frac{\sin \left( \frac{2n+1}{2}%
x\right) }{x}dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\pi }\frac{\sin \left(
\frac{2n+1}{2}x\right) }{2\sin \frac{x}{2}}dx=\frac{\pi }{2}
\]

çıkar (son eşitliği yukarıda hesaplamıştık). Şimdi $y=\frac{2n+1}{2}x$ dersek,

\[\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\frac{2n+1}{2}\pi }\frac{\sin y}{y}dy=\frac{\pi }{2}
\]
buradan da

\[\int_{0}^{\infty }\frac{\sin y}{y}dy=\frac{\pi }{2}\]
bulunur.

Not: Söz konusu integral birçok kaynakta Laplace dönüşümü yardımıyla formal olarak hesaplanır, fakat uygulanan metod pürüzlüdür.
(623 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
4 beğenilme 0 beğenilmeme
$\frac{\sin x}{x}$ fonksiyonu çift olduğundan $$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$$ dir. $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\Im{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx}$$ ve kompleks kontür integrasyon tekniği ile $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x}dx=i\pi$$ olarak bulunduğundan $$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$$ dir.
(108 puan) tarafından 
20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,078,274 kullanıcı