Tam sayılarla ilgili bir soru

Question

$n_1,n_2,n_3,...,n_{2018}$ tam sayılar olmak üzere,

$n_1^2+n_2^2+n_3^2+...+n_{2018}^2+4036=3(n_1+n_2+n_3+...+n_{2018})$ eşitliği sağlanıyorsa, 

$n_1^2+n_2^2+n_3^2+...+n_{2018}^2$ toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?

                                                                                                                  (UMO-2018/7)

Ben soruyu çözdüm ve gizledim. Belki daha güzel bir çözüm gelir diye bekleyeceğim. Olmazsa bir kaç gün sonra cevabı açarım.

Answer 1

Soruyu,

$n_1^2-3n_1+2+n_2^2-3n_2+2+n_3^2-3n_3+2+...+n_{2018}^2-3n_{2018}+2=0$

$(n_1-1)(n_1-2)+(n_2-1)(n_2-2)+...(n_{2018}-1)(n_{2018}-2)=0$  şeklinde yazdım.  Bu eşitliğin, $n_1,n_2,n_3,...n_{2018}$ tam sayılarının hepsi $1$ iken, Birisi $2$ diğerleri $1$ iken, iki tanesi $2$ diğerleri $1$ iken, böyle devam ederek hepsi $2$ iken de sıfırlanacağı açıktır. Böylece $n_1^2+n_2^2+n_3^2+...+n_{2018}^2$ toplamı $2019$ farklı değer alır diye buldum. Ama biraz uzattım sanırım. Belki çok daha güzel bir çözüm olabilir.