Metod 1)
Klasik kalkülüs metoduyla oran testi yaparsak.
L=lim
e sayısının tanımı gereği
L=|x|/e gelir ve bu serinin yakınsaması için L<1 olmalıdır yani koşulumuz:
|x|<e ve yarıçap R=e gelir.
-
x=e iken incelersek serimiz
S(e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}e^k olur, stirling yaklaşımı yaparsak k!\approx \sqrt{2\pi k}(k/e)^k\quad\Rightarrow\quad \dfrac{k!}{k^k}e^k\approx \sqrt{2\pi k}
S(e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}e^k=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{2\pi k}
Seri p-test gereği ıraksar.
-
x=-e için incelersek
S(-e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}(-e)^k=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{2\pi k}(-1)^k=\sqrt{2\pi }\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt k(-1)^k
bu seri de nth term test sonucu ıraksar.
Yani serinin yakınsaklık aralığı (-e,e) dir.
-----------------------
Metod 2)
sadece yarıçapı buluyoruz sınırlarda bakmıyoruz
\displaystyle\sum c_k (x-x_0)^k için R=\dfrac1{\limsup\limits_{k\to \infty}\left| c_k\right|^{1/k}} kullanırsak
Yakınsaklık yarıçapı R:
R=\dfrac1{\limsup\limits_{k\to \infty}\left| \dfrac{k!}{k^k}\right|^{1/k}}
etikette de verildigi gibi stirling approximation uygularsak:
\dfrac{k!}{k^k}\approx \sqrt{2\pi k} (1/e)^k
\limsup\limits_{k\to \infty}\left| \dfrac{k!}{k^k}\right|^{1/k}\approx \lim\limits_{k\to \infty}\left| \sqrt{2\pi k} (1/e)^k\right|^{1/k}=\lim\limits_{k\to \infty}\underbrace{ \sqrt{2\pi}}_{\to1}\underbrace{ \left(k^{1/k}\right)^{1/2}}_{\to1} \left| \dfrac 1 {e}\right|
Dolayısıyla :
R=\dfrac1{\limsup\limits_{k\to \infty}\left| \dfrac{k!}{k^k}\right|}=\dfrac1{1/e}=e