Metod 1)
Klasik kalkülüs metoduyla oran testi yaparsak.
$$L=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\dfrac{ \dfrac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}x^{k+1}}{ \dfrac{k!}{k^k}x^k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left| \dfrac x {\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k}\right|$$
$e$ sayısının tanımı gereği
$L=|x|/e$ gelir ve bu serinin yakınsaması için $L<1$ olmalıdır yani koşulumuz:
$|x|<e$ ve yarıçap $R=e$ gelir.
-
$x=e$ iken incelersek serimiz
$$S(e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}e^k$$ olur, stirling yaklaşımı yaparsak $$k!\approx \sqrt{2\pi k}(k/e)^k\quad\Rightarrow\quad \dfrac{k!}{k^k}e^k\approx \sqrt{2\pi k}$$
$$S(e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}e^k=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{2\pi k}$$
Seri $p-test$ gereği ıraksar.
-
$x=-e$ için incelersek
$$S(-e)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k!}{k^k}(-e)^k=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt{2\pi k}(-1)^k=\sqrt{2\pi }\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\sqrt k(-1)^k$$
bu seri de $nth term$ test sonucu ıraksar.
Yani serinin yakınsaklık aralığı $(-e,e)$ dir.
$$-----------------------$$
Metod 2)
sadece yarıçapı buluyoruz sınırlarda bakmıyoruz
$\displaystyle\sum c_k (x-x_0)^k$ için $R=\dfrac1{\limsup\limits_{k\to \infty}\left| c_k\right|^{1/k}}$ kullanırsak
Yakınsaklık yarıçapı $R$:
$$R=\dfrac1{\limsup\limits_{k\to \infty}\left| \dfrac{k!}{k^k}\right|^{1/k}}$$
etikette de verildigi gibi stirling approximation uygularsak:
$$\dfrac{k!}{k^k}\approx \sqrt{2\pi k} (1/e)^k$$
$$\limsup\limits_{k\to \infty}\left| \dfrac{k!}{k^k}\right|^{1/k}\approx \lim\limits_{k\to \infty}\left| \sqrt{2\pi k} (1/e)^k\right|^{1/k}=\lim\limits_{k\to \infty}\underbrace{ \sqrt{2\pi}}_{\to1}\underbrace{ \left(k^{1/k}\right)^{1/2}}_{\to1} \left| \dfrac 1 {e}\right|$$
Dolayısıyla :
$$R=\dfrac1{\limsup\limits_{k\to \infty}\left| \dfrac{k!}{k^k}\right|}=\dfrac1{1/e}=e$$