Uzun cozum:
Bu fonksiyonun iki farkl kokunun olmasi icin $$\Delta=(m+2)^2>0$$ olmasi gerekli. Yani $$m\ne -2$$ olmasi gerekli.
Diyelim ki bu sart saglaniyor. O zaman iki farkli koku var. Bunlardan kucugune $a$ buyugune de $b$ diyelim.
Kokleri bildigimizden ve bas katsayi da $1$ oldugundan $$f(x)=(x-a)(x-b)$$ olarak yazabiliriz.
$-1$ ve $2$ degerleri icin fonksiyonlari hesaplarsak verilen esitsizlik geregi $$f(-1)=(-1-a)(-1-b)<0$$ ve $$f(2)=(2-a)(2-b)>0$$ esitsizlikleri saglanir. Hatta bu esitsizliklerin saglanmasi da $a<-1<b<2$ esitsizliginin saglanmasini gerektirir. Nasil?
Cevap:
(1) $f(-1)<0$ demek $-1$ iki kok arasinda demek...
(2) $f(2)>0$ demek ya iki kok de $2$den buyuk ya da ikisi de $2$den kucuk demek..
Iki kok de 2den buyuk olamaz, olsaydi $-1$ iki kok arasinda olamazdi demek ki iki kok de $2$den kucuk olmali. Bu da bize $$a<-1<b<2$$ esitsizligini verir.
O zaman sartlarimiz $$f(-1)=-2m<0$$ ve $$f(2)=m+3>0$$ olur. Bu da bize $$m>0$$ olmasi gerektigini verir.
Kisa Cozum: $\Delta=(m+2)^2$ oldugundan kokler $$\frac{-m\pm|m+2|}{2}=\frac{-m\pm(m+2)}{2}=\{1,-m-1\}$$ olur. Bi da bize $-m-1<-1$ yani $m>0$ olmasi gerektigini verir.
Daha kisa bir cozum: $1$in bir kok oldugunu gorerek olabilir. Bu sekilde diger kokun $-m-1$ olmasi gerektigi de gozukur. Bir ustteki cozumden temelde bir farki yok.