Köklerin reel sayılarla kıyaslanması

Question

$f(x)=x^{2}+mx-m-1=0$ denkleminin kökleri a ve b olsun. a<-1<b<2 olduğuna göre m hangi aralıkta olmalıdır?Elimdeki kaynakta bu sorunun alternatif bir çözümü için f(-1).f(2)<0  ve 2>(-m/2) eşitsizlik sisteminin çözüm aralığı alınmış.Bu esitsizlikler aynı zamanda -1< a<2<b olduğunda da sağlanmaz mı?

Comments

$a<2<b<-1$ şeklide sayılar var olabilir mi?

---

Pardon hocam eşitsizliği yanlış yazmışım -1<a<2<b olacaktı.

---

Soruya cevap verdim ama soru ve yorumda verilenler farkli. Kisa cevaplara gore cozum ikisine gore de rahatlikla bulunabilir.

Answer 1

Uzun cozum: 

Bu fonksiyonun iki farkl kokunun olmasi icin $$\Delta=(m+2)^2>0$$ olmasi gerekli. Yani $$m\ne -2$$ olmasi gerekli. 

Diyelim ki bu sart saglaniyor. O zaman iki farkli koku var. Bunlardan kucugune $a$ buyugune de $b$ diyelim.
  
Kokleri bildigimizden ve bas katsayi da $1$ oldugundan $$f(x)=(x-a)(x-b)$$ olarak yazabiliriz.

$-1$ ve $2$ degerleri icin fonksiyonlari hesaplarsak verilen esitsizlik geregi $$f(-1)=(-1-a)(-1-b)<0$$ ve  $$f(2)=(2-a)(2-b)>0$$ esitsizlikleri saglanir. Hatta bu esitsizliklerin saglanmasi da $a<-1<b<2$ esitsizliginin saglanmasini gerektirir. Nasil? 

Cevap:
(1) $f(-1)<0$ demek $-1$ iki kok arasinda demek...
(2) $f(2)>0$ demek ya iki kok de $2$den buyuk ya da ikisi de $2$den kucuk demek..

Iki kok de 2den buyuk olamaz, olsaydi $-1$ iki kok arasinda olamazdi demek ki iki kok de $2$den kucuk olmali. Bu da bize $$a<-1<b<2$$ esitsizligini verir. 


O zaman sartlarimiz $$f(-1)=-2m<0$$ ve $$f(2)=m+3>0$$   olur. Bu da bize $$m>0$$ olmasi gerektigini verir. 

Kisa Cozum: $\Delta=(m+2)^2$ oldugundan kokler $$\frac{-m\pm|m+2|}{2}=\frac{-m\pm(m+2)}{2}=\{1,-m-1\}$$ olur. Bi da bize $-m-1<-1$ yani $m>0$ olmasi gerektigini verir. 

Daha kisa bir cozum: $1$in bir kok oldugunu gorerek olabilir. Bu sekilde diger kokun $-m-1$ olmasi gerektigi de gozukur. Bir ustteki cozumden temelde bir farki yok.

Comments

Hocam cevaba ulasıyorum orada sıkıntı yok.Benim kafama takılan husus yukarda verdiğim çözümün ne kadar sağlıklı olduğu? f(-1).f(2)<0 2>(-m/2) eşitsizlik sisteminin çözüm aralığını almak hem soruda verilen hem de benim yorumda yazmış olduğum eşitsizliği sağlayan durumlari almak demek değil midir?