$\int ^{\infty }_{0}x\cdot e^{-x^{2}}.dx$ integralinin hesabı

Question

$\int ^{\infty }_{0}x\cdot e^{-x^{2}}.dx$

$\begin{aligned}x^{2}=u\\ 2xdx=du\\ x\cdot dx=\dfrac {du}{2}\end{aligned}$

$\lim _{t\rightarrow \infty }\int ^{t}_{0}xe^{-x^{2}}\cdot dx$

$=\lim _{t\rightarrow \infty }\int ^{t}_{0}e^{-u}\cdot \dfrac {du}{2}$

$=\lim _{t\rightarrow \infty }\dfrac {1}{2}\int ^{t}_{0}e^{-u}.du$

$\lim _{t\rightarrow \infty }\dfrac {1}{2}\cdot \dfrac {1}{e^{x^{2}}}|t 0$

$\lim _{t\rightarrow \infty }\dfrac {1}{2e^{t^{2}}}-\dfrac {1}{2e^{0^{2}}}$

$0-\dfrac {1}{2}=-\dfrac {1}{2}$

yakınsaktır

CEVABIM DOĞRU MU YANLIŞSA DOĞRUSU NEDİR?

Lütfen silmeyin

Comments

İntegrand (integrali alınan fonksiyon) $(0,+\infty)$ aralığında pozitif olunca integral  negatif olmamalı.

$\frac{d(e^{-x})}{dx}=-e^{-x}$  dir. Bu düzeltmeyi yaparsan her şey tam olacak.

 Bir de sonucu etkilemeyen küçük bir düzeltme: 

$\int_0^t xe^{-x^2}\,dx=\int_0^{t^2}(\cdots) du$ olur (asıl hata boş bıraktığım kısımda)

---

nereyi söylediğini anlamadım 

$\int ^{t^{2}}_{0}$

böyle bir işaret kullanmadım ki ben

ve o dediğin " $-e^{-x}$ " 'i anladım ondan başka hatam varsa söyler misin

---

1. Yazdığım gibi olması gerekiyordu, ama daha sonra tekrar $x$ değişkeni kullanıldığı için sonuçta  fark etmiyor.

2.  $-$ hatasını düzeltirsen çözümün doğru olacak. İntegralin değeri negatif çıkmayacak.

---

$\int e^{-u}\,du=-e^{-u}+C$