Kartezyen Çarpım-VI

Question

Her  $i\in I$  için  $A_i$  ve  $B_i$  herhangi kümeler olmak üzere

$$``\left( \prod_{i\in I}A_i \right)\cap \left(\prod_{i\in I} B_{i} \right)=\prod_{i\in I}\left(A_i\cap B_i \right)”$$ önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$x=(x_i)_{i\in I}$ olsun.

$$x\in\left( \prod_{i\in I}A_i \right)\cap \left(\prod_{i\in I} B_{i} \right)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$x\in\left( \prod_{i\in I}A_i \right)\wedge x\in\left(\prod_{i\in I} B_{i} \right)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall i\in I)(x_i\in A_i)\wedge (\forall i\in I)(x_i\in B_{i})$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall i\in I)(x_i\in A_i \wedge x_i\in B_{i})$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall i\in I)(x_i\in A_i\cap B_{i})$$

$$\Leftrightarrow$$

$$x\in\left( \prod_{i\in I}A_i\cap B_i \right).$$