y^{'''}+y^{''}=f(x) özel ve homojen çözüm bulmalıyız.
homojen çözüm : m^{3} + m^{2}=0
m^{2}(m+1)=0
m^{2}=0 \quad m=0(çift kat) , m+1=0 \quad m=-1
y_{1}=1 \quad y_{2}=x \quad y_{3}=e^{-x}
y_{h}=c_{1}+c_{2}x+c_{3}e^{-x}
özel çözüm : y_{ö}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}+v_{3}y_{3}
y_{ö}=v_{1}+v_{2}x+v_{3}e^{-x}
sabitlerin değişimi yöntemi (lagrange yöntemi) ile
v_{1}^{'}+v_{2}^{'}x+v_{3}^{'}e^{-x} = 0
v_{2}^{'}-v_{3}^{'}e^{-x}=0
v_{3}^{'}e^{-x}=f(x)
böylece buradan v_{3}^{'}e^{-x}=f(x)
v_{3}= \int e^{x}f(x)d(x)
v_{2}^{'}-e^{x}f(x)e^{-x}=0
v_{2}= \int f(x) d(x)
v_{1} = - \int f(x)(x+1) d(x)
y=y_{ö} + y_{h} idi.Böylece ;
y =c_{1}+c_{2}x+c_{3}e^{-x}- \int f(x)(x+1)d(x) + x \int f(x) d(x) +e^{-x} \int e^{x} f(x) d(x)
elde edilir.
Not: kurallara uygun bir şekilde soru (yanıtı ile beraber) sormama rağmen sorduğum sorular halen kapalıdır.Bu durumun tarafınızca düzeltilmesini temenni ederim.İyi çalışmalar.