diferansiyel-denklemler-seçme-konular

Question

$y'''+y''=f(x) $ ;   $x_{0} \in I $    $y(x_{0})= y'(x_{0})=y''(x_{0})=0 $ probleminin çözümünü bulunuz.

------------

$y^{'''}+y^{''}=f(x)$  özel ve homojen çözüm bulmalıyız.

homojen çözüm : $m^{3} + m^{2}=0 $ 

$m^{2}(m+1)=0$

$m^{2}=0 \quad m=0(çift kat) $  ,       $m+1=0 \quad m=-1 $ 

$y_{1}=1  \quad  y_{2}=x  \quad y_{3}=e^{-x} $

$y_{h}=c_{1}+c_{2}x+c_{3}e^{-x} $

özel çözüm : $ y_{ö}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}+v_{3}y_{3} $

$y_{ö}=v_{1}+v_{2}x+v_{3}e^{-x} $

sabitlerin değişimi yöntemi (lagrange yöntemi) ile 

$v_{1}^{'}+v_{2}^{'}x+v_{3}^{'}e^{-x} = 0 $ 

$v_{2}^{'}-v_{3}^{'}e^{-x}=0 $ 

$v_{3}^{'}e^{-x}=f(x) $

böylece buradan $v_{3}^{'}e^{-x}=f(x) $ 

$v_{3}= \int e^{x}f(x)d(x) $

$v_{2}^{'}-e^{x}f(x)e^{-x}=0 $ 

$ v_{2}= \int f(x) d(x) $ 

$ v_{1} = - \int f(x)(x+1) d(x) $

$ y=y_{ö} + y_{h} $ idi.Böylece ; 

$ y =c_{1}+c_{2}x+c_{3}e^{-x}- \int f(x)(x+1)d(x) + x \int f(x) d(x) +e^{-x} \int e^{x} f(x) d(x) $

elde edilir.

Comments

Yaptigin islemleri tam anlamadim. Bunun homojen cozumu icin $r^3+r^2=0$ diyerek islem yapmak gerekmiyor mu?

---

$y^{'''}+y^{''}=f(x)$  özel ve homojen çözüm bulmalıyız.

homojen çözüm : $m^{3} + m^{2}=0 $ 

$m^{2}(m+1)=0$

$m^{2}=0 \quad m=0(çift kat) $  ,       $m+1=0 \quad m=-1 $ 

$y_{1}=1  \quad  y_{2}=x  \quad y_{3}=e^{-x} $

$y_{h}=c_{1}+c_{2}x+c_{3}e^{-x} $

özel çözüm : $ y_{ö}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}+v_{3}y_{3} $

$y_{ö}=v_{1}+v_{2}x+v_{3}e^{-x} $

sabitlerin değişimi yöntemi (lagrange yöntemi) ile 

$v_{1}^{'}+v_{2}^{'}x+v_{3}^{'}e^{-x} = 0 $ 

$v_{2}^{'}-v_{3}^{'}e^{-x}=0 $ 

$v_{3}^{'}e^{-x}=f(x) $

böylece buradan $v_{3}^{'}e^{-x}=f(x) $ 

$v_{3}= \int e^{x}f(x)d(x) $

$v_{2}^{'}-e^{x}f(x)e^{-x}=0 $ 

$ v_{2}= \int f(x) d(x) $ 

$ v_{1} = - \int f(x)(x+1) d(x) $

$ y=y_{ö} + y_{h} $ idi.Böylece ; 

$ y =c_{1}+c_{2}x+c_{3}e^{-x}- \int f(x)(x+1)d(x) + x \int f(x) d(x) +e^{-x} \int e^{x} f(x) d(x) $

elde edilir.

Not: kurallara uygun bir  şekilde soru (yanıtı ile beraber) sormama rağmen sorduğum sorular halen kapalıdır.Bu durumun tarafınızca düzeltilmesini temenni ederim.İyi çalışmalar.

---

Hepsini acmistim...

---

kaç saat sonra ? geçen zaman boyunca altta değindiğiniz yorumlar mevcut idi.Üstelik oncaları görmedi! buna hakkınız yok lütfen...

---

Yontemin dogru duruyor... Integralleri $\int_{x_0}^x$ olarak yazip icleri $t$'nin bir fonksiyonu olarak yazabilirsin...

Verilen kosullarin saglanmasi saglamak icin (integral degerleri sifir olacagindan) $c_i$ degerlerini de bulabilirsin.

---

çok doğru , hatalıdır.Bir başka sormadığım(tatminsiz çözümünün var olduğu) sorunun çözümünü yazmışım, affedersiniz.

---

hak derken? burada yardimci olmaya calisiyoruz ve su an zaman ayirip size yardimci olmaya calisiyorum.

Site ne yazik ki cok hizli islemiyor. Ayrica birisi size cevap vermek isteseydi altindaki yorumu gorunce cevap verirdi... 

Yani kapali sorulara da yorum olarak cevap veriliyor. Buyutulecek bir durum degil sorunun kapali olmasi.

---

''kapalı'' ibaresini yanlış algılamışım.Uzun süredir kullanmadığımdan olabilir.Belki de aynı algıya kapılanlar olmuştur.Bir dahaki soru(lar)da daha dikkatli davranırım.İlginiz için teşekkürler...