ikinci dereceden denklem sorusu

Question

$\left( m-1\right) x^{2}-\left( m^{2}-4\right) x+25-m=0$

 Denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ olsun.$x_{1}$>$x_{2}$ ve $\left| x_{1}\right| =\left| x_{2}\right|$ olduğuna göre $x_{1}-2x_{2}$ kaçtır?Elimdeki kaynakta  reel köklerin olmadığı bir denklem elde edilmesi sebebiyle m değerinin 2 olamayacağından bahsediliyor.Neden reel kök olmak zorunda olduğunu anlayamadım.Reel olmayan ve şartları sağlayan kökler olamaz mı?

Comments

Kompleks sayılarda (reel sayılardaki gibi) bir sıralama olmadığı için, bu sorudaki $x_1>x_2$ ifadesinden, köklerin reel sayı olduğu düşünmek mantıklı olur.

---

Hocam kökler toplamı,çarpımı ve farkı formülleri bütün ikinci dereceden denklemler için geçerli midir?Örneğin reel köke sahip olmayan bir ikinci dereceden denklemde kökler farkının mutlak değerine $\dfrac {\sqrt {\Delta }}{\left| a\right| }$ diyebilir miyiz?

---

Evet, (kökler toplamı,çarpımı ve farkı formülleri) gerçel olmayan kökler için de geçerlidir.

---

Yalnız $m=-2$ için kökler reel. kitaptaki yorumda $m=2$ olmasın.

---

Düzelttim hocam.Karmaşık sayılardan önce denklemlere hakim olmak oldukça güç.Bir sorum daha olacak izniniz olursa.

$x^{2}-2x+5=0$  gibi reel kökü olmayan bir denklemin köklerinin karelerini kök kabul eden ikinci dereceden denklem yazmak için x yerine $\sqrt {x}$ yazmak ne kadar doğru?Pozitif reel sayılar için tersi  $\sqrt {x}$ fakat reel olmayan köklerde durum nasıl ?

---

Verilen denklemin kökleri $x_1,x_2$ , bulunacak denklemin kökleri ise$x_1',x_2'$  olsunlar. Eğer $x_1'=x_1^2, \quad x_2'=x_2^2$     ise    $x_1=\pm\sqrt{x_1'},\quad x_2=\pm\sqrt{x_2'}$ olacağından denklemde $x$ yerine $\pm\sqrt x$ yazmakta bir sakınca yoktur.