Kanıt:
(\Rightarrow): f, \ a\text{'}da türevli olsun. f, \ a\text{'}da türevli ise f'(a) mevcuttur. Bu durumda \varphi(x):=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} & , & x\neq a \\ f'(a) & , & x= a \end{array}\right. kuralı ile verilen \varphi :I\to \mathbb{R} fonksiyonunu tanımlayabiliriz.
\lim\limits_{x\to a}\varphi (x)=\varphi (a)=f'(a) olduğundan \varphi fonksiyonu a noktasında süreklidir.
x=a ise f(x)-f(a)=0 ve \varphi (x)(x-a)=0 olup f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a) eşitliği sağlanır.
x\neq a ise \varphi (x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} olup f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a) eşitliği sağlanır.
(\Leftarrow): a noktasında sürekli ve her x\in I için f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a) eşitliğini sağlayan bir \varphi:I\to\mathbb{R} fonksiyonunun mevcut olduğunu varsayalım.
x-a\neq 0\Rightarrow \varphi (x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} ve
\varphi :I\to \mathbb{R} fonksiyonu a noktasında sürekli olduğundan
\varphi (a)=\lim\limits_{x\to a}\varphi (x)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} olup limit mevcuttur. O halde f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir ve f'(a)=\varphi (a).