Processing math: 0%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
542 kez görüntülendi
Carath\acute{e}odory\text{'}s \ \ Theorem: I\subseteq\mathbb{R}  aralık ve  a\in I olmak üzere f, \  a\text{'da türevli} \Leftrightarrow \left(\exists \varphi \in \mathbb{R}^I \ \ a\text{'da sürekli}\right)(\forall x\in I)(f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a))
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 542 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Kanıt: 

(\Rightarrow): f, \ a\text{'}da türevli  olsun. f, \ a\text{'}da türevli ise f'(a) mevcuttur. Bu durumda \varphi(x):=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} & , & x\neq a \\  f'(a) & , & x= a \end{array}\right. kuralı ile verilen \varphi :I\to \mathbb{R} fonksiyonunu tanımlayabiliriz.

\lim\limits_{x\to a}\varphi (x)=\varphi (a)=f'(a) olduğundan \varphi fonksiyonu a noktasında süreklidir.

x=a  ise  f(x)-f(a)=0  ve  \varphi (x)(x-a)=0  olup f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a) eşitliği sağlanır.

x\neq a ise \varphi (x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} olup f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a) eşitliği sağlanır.

(\Leftarrow): a  noktasında sürekli ve her x\in I  için  f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a)  eşitliğini sağlayan bir \varphi:I\to\mathbb{R} fonksiyonunun mevcut olduğunu varsayalım.

x-a\neq 0\Rightarrow \varphi (x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} ve 

\varphi :I\to \mathbb{R} fonksiyonu a noktasında sürekli olduğundan 

\varphi (a)=\lim\limits_{x\to a}\varphi (x)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} olup limit mevcuttur. O halde f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir ve f'(a)=\varphi (a).

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,668 kullanıcı