Rolle Teoremi'ni kanıtlayınız.

Question

Rolle Teoremi: $a,b\in \mathbb{R}, \ a<b$  ve  $f\in\mathbb{R}^{[a,b]}$ olmak üzere

$$(f, \ [a,b]\text{'de sürekli})(f, \ (a,b)\text{'de türevli})(f(a)=f(b))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists c\in (a,b))(f'(c)=0)$$

Answer 1

$[a,b]$  aralığında tanımlı, reel değerli ve sürekli bir  $f$  fonksiyonunun en büyük (maks) ve  en küçük (min) yani ekstremum değerleri bu aralıkta bulunur. Çünkü böyle bir fonksiyon sabit veya daima artan/azalan ya da hem artan hem azalan (dalgalı) olabilir.Teoremin hipotezinden $f(a)=f(b)$ olduğundan bu ekstramum noktalarından en az biri, diyelim ki $c$ noktası $(a,b)$  aralığında olmalıdır. Buna göre $f$ türevli olduğundan ekstramum teoreminden $f'(c)=0$  yazılabilir.