T1) ∅,X?∈τ2
[(∀x∈∅)(∃U∈U(x))(|U∖∅|≤ℵ0)]≡∀x[x∈∅⏟0→(∃U∈U(x))(|U∖∅|≤ℵ0)⏟p]≡1
olur yani (∀x∈∅)(∃U∈U(x))(|U∖∅|≤ℵ0)
önermesi doğru yani ∅∈τ2
olur. Öte yandan x∈X olmak üzere
x∈XU:=X}⇒(U∈U(x))(|U∖X|=|X∖X|=|∅|=0≤ℵ0) olduğundan
(∀x∈X)(∃U∈U(x))(|U∖X|≤ℵ0) önermesi doğru yani X∈τ2 olur.
T2) A,B∈τ2 ve x∈A∩B olsun.
x∈A∩B⇒(x∈A)(x∈B)A,B∈τ2}⇒(∃U∈U(x))(|U∖A|≤ℵ0)(∃V∈U(x))(|V∖B|≤ℵ0)
⇒(∃U∈U(x))(∃V∈U(x))(|U∖A|≤ℵ0)(|V∖B|≤ℵ0)
⇒(U∩V∈U(x))(|[(U∩V)∖A]∪[(U∩V)∖B]|≤|(U∖A)∪(V∖B)|≤ℵ0)
⇒(U∩V∈U(x))(|[(U∩V)∩(∖A)]∪[(U∩V)∩(∖B)]|≤ℵ0)
⇒(U∩V∈U(x))(|(U∩V)∩[(∖A)∪(∖B)]|≤ℵ0)
⇒(U∩V∈U(x))(|(U∩V)∩[∖(A∩B)]|≤ℵ0)
⇒(U∩V∈U(x))(|(U∩V)∖(A∩B)|≤ℵ0).
T3) A⊆τ2 ve x∈∪A olsun.
x∈∪A⇒(∃A∈A)(x∈A)A⊆τ2}⇒(∃U∈U(x))(|U∖(∪A)|≤|U∖A|≤ℵ0) olduğundan ∪A∈τ2 olur.