Karekök dışına çıkardığımız sayılar neden negatif olamaz?

Question

Mesela kök(25) in sonucu neden -5 olamaz

Answer 1

Biraz geriden başlayacağım.

$1)$ $f_1(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu ne birebir ne de örtendir. Dolayısıyla $f_1$ fonksiyonunun tersi yoktur.

$2)$ $f_2(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f_2:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ fonksiyonu birebirdir fakat örten değildir. Dolayısıyla $f_2$ fonksiyonunun da tersi yoktur.

$3)$ $f_3(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f_3:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ fonksiyonu örtendir fakat birebir değildir. Dolayısıyla $f_3$ fonksiyonunun da tersi yoktur.

$4)$ $f_4(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f_4: [0,\infty)\to [0,\infty)$ fonksiyonu hem birebir hem de örtendir. Dolayısıyla $f_4$ fonksiyonunun tersi VARDIR.

$$f_4^{-1}(x)=\sqrt{x}$$ kuralı ile verilen $$f_4^{-1}: [0,\infty)\to [0,\infty)$$ fonksiyonuna $f_4$ fonksiyonunun tersi denir. Bu $f_4^{-1}$ fonksiyonu $[0,\infty)$ kümesinden aldığı bir elemanı yine $[0,\infty)$ kümesinde bir elemana eşliyor. Dolayısıyla $$\sqrt{25}=-5$$ OLAMAZ.

Comments

Kopyala yapistir ile giderken dorduncude de yoktur demissin:)

---

$(-\infty, 0]$ aralığından $[0, \infty)$ aralığına tanimlanan $x\mapsto x^2$ fonksiyonu da birebir ve örten. Onun da tersi var. Neden karekökü böyle tanımlamıyoruz? Soru bu bence.

---

Haklısın Sercan. Düzelttim.

---

Özgür $f(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f:(-\infty,0]\to [0,\infty)$ fonksiyonu senin de ifade ettiğin gibi birebir ve örtendir. Dolayısıyla tersi vardır ve tersi

$$f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$$ kuralı ile verilen   $$f^{-1}:[0,\infty)\to (-\infty,0]$$ fonksiyonudur. Ama ben bunun değil de ilk yazdığım cevaptakinin kast edildiğini düşünüyorum.

---

Soru sahibini bekleyelim o vakit.

---

Evet bunu sormak istemiştim -5 in karesi de 25 5 in karesi de ama 25 in kökünü aldığımızda sonuç 5 oluyor 

---

"Evet bunu sormak istemiştim" derken neyi kast ediyorsun? Benim anladığım şeyi mi yoksa Özgür'ün anladığı şeyi mi?

---


Affedersiniz yanlış yere yazmışım özgür hocanın anladığını sormak istemiştim aslında

Answer 2

Murad'in cevabina ek olarak... $a$ bir gercel sayi olsun. Eger $n$ tek bir pozitif tam sayi ise 

$$x^n-a$$ polinomunun bir tane gercel koku vardir. (Ispat gerekli elbet). Eger $a<0$ ve $n$ cift sayi ise  $$x^n-a$$ polinomunun gercel koku yoktur. Eger $a>0$ ve $n$ cift sayi ise  $$x^n-a$$ polinomunun iki gercel koku vardir, biri pozitif degeri de onun eksilisi. $a=0$ ise koku sadece $0$ olur.

Bu bilgilerle $$\sqrt[n]{a}$$ degerini tanimlayabiliriz (tek kuvvetlerde biricik olana ve cift kuvvetlerde kok varsa negatif olmayana)... ve kuvvetleri negatif tam sayilar (ayni mantikla), hemen akabinde (kolay bir sekilde) rasyonel sayi ve ardindan gercel sayi olarak alabiliriz ve ne zaman tanimli ne zaman degil, bunlari soyleyebiliriz. Mesela $$\sqrt{-1}$$ diye bir gercel sayi yok. Cunku $$x^2+1=0$$ gercel sayilarda kok icermez, gibi.