Lineer operatörler ispat sorusu

Question

1.soru

T normal operator ancak ve ancak T=A+iB, A ve B öz ekli operatörlerdir

2soru

V kompleks iç çarpım uzayi, T oz ekli lineer operator. Aşağıdakileri gosteriniz

1.||a+iTa||=||a-iTa||

2. a+iTa=b+iTb ancak ve ancak a=b

Answer 1

2.2) Yeterlilik açık. 

Gereklilik: Hipotez doğru olsun. O hâlde, biraz oynadıktan sonra, $$T(a-b)=i(a-b)$$ alınır. Buna göre, $T$, $i$ özdeğerine ve buna tekâbül eden $(a-b)$ özvektörüne sâhiptir. $T$ özekli olduğundan, özdeğerleri reeldir. Dolayısıyla, $(a-b)=0$ olmalıdır: $a=b.$