$999$ sayfalık kitaptaki $5$ rakamı sayısı

Question

999 sayfalık bir kitabın sayfa numaralarını kesip makasla rakamlarını ayırarak bir çocuk kaç tane 5 biriktirir? Sorunun cevabını 308 buldum tek tek saydım ama muhakkak bir formülü olmalı diye düşünüyorum çünkü fazla vakit harcadim.

Comments

Merhaba , sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız.

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

---

Uzun zamandır siteye giriş yapmamıştım ve önceden bu tür kurallarda yoktu bu yüzden soruya kendi yorumumu dahil etmedim bundan sonra daha dikkatli olurum.

---

$5ab$, $55c$, $555$ durumlarini dusunebilirsin.

---

"Olasılık sorusu" başlığı içeriği tam yansıtmıyor, değil mi?

---

Bu bir permutasyon sorusu ve permutasyonda olasilik başlığı altında verilen bir konu 

---

Ben şimdi denedim dediğiniz yolu fakat sonuçtan uzak bir sonuç buldum yapamadım yine.

---

"Bu bir permutasyon sorusu ve permutasyonda olasilik başlığı altında verilen bir konu" diye bir savunma pek saglikli degil. Sunu da soyleyebiliriz "Bu bir matematik kitabi sorunun adi matematik bu nedenle". Egitim sirasinda ogrenmemiz gereken konulardan/olgulardan birisi basliklari iyi secmektir. Basligi "Turkiye", "Kalp"  olan haberler dusunelim. Sunu sorariz "Turkiye de ne yani?" ya da "Kalp, tamam, ee?".

---

Başlığı degistirdim 

---

Bence "matematik" daha iyi olurdu! 

---

Daha önce aktif bir şekilde siteye giriş yapıyordum mümkün olduğunca hem kendi sorularımi soruyordum hemde diğer arkadaşlara yardımcı oluyordum kusura bakmayın eskiden başlıkla alakalı bir sorun yaşamadım ve kimseninde yasadigina sahit olmamistim inanın başlığa ne yazacağımı bilemiyorum artık.

---

Eskisi yenisi onemli degil. Eskiden de uyariyorduk ama cok degil, sana denk gelmemis de olabilir. Bunlari su an daha iyi bir sekilde uygulamaya calisiyoruz. Bunlari sana karsi fikir olarak gorme, ogrenmeye calis. Onemli kavramlar. Bir baslik nasil atilmali, derdimiz var ise (buradaki derdimiz cozemedigimiz soru) onu iyi yazma yansitma... Bunlar bir omur boyu isimize yarayacak olgular. Uyarilari dikkate almak, tepki gibi gormemek de onemli tabii ki.

---

Yok hayır kesinlikle tepki olarak görmedim bunun bilincindeyim.Zaten amaç birşeyler öğrenebilmek ve öğretebilmek.Bundan sonra dikkat etmeye calisacagim.Sorudan da uzaklaştı zaten konu.

---

Ben bir cevap paylaşmayı düşünüyorum ama $382$ buldum. Gecenin bu saati malûm, cevabın $380$ olduğundan emin miyiz? 

---

Değilim birkaç kisiye daha sordum farklı cevaplar verdiler tek tek sayarak bulmaya çalıştım gözümden kaçmışta olabilir zaten isteğim nasıl bir formül bulabilirimdi.Nasıl bulduğunuzu öğrenmek isterim tabiki.

---

Az önce yanlış hesaplamışım bence de  $380$ olmalı.

---

@Sercan hocam bunun en genel halını cozen bır soru vardı sizin, bulamadım onu ben.

---

Bu tarz sorularda genel olarak kullandığım genel bir yöntemi diyorsun herhalde. Homojenlik. 

Answer 1

Yorumlarda da bahsedildiği üzere çözersek: $$000$$$$001$$$$\vdots$$$$999$$ sayılarında toplamda $3000$ rakam vardır ve her bir ondalık rakam eşit miktarda gözükür. Dolayısıya istenen cevap $300$ olur. Anıl'ın dediği gibi genelleştirilebilir. 

Not olarak da: sıfır için çok az efor daha sarfetmek gerekli fakat zor değil? Okuyucular buna yorum olarak cevap verebilirler.

Comments

Bu çok daha iyiymiş hocam, $140$ ile $160$ toplarken $380$ bulma riskini de azaltıyor :) 

---

Mantıklı ve kısa bir yolmus çok teşekkür ediyorum sorumu cevapsız bırakmadığınız için yeni bir şey daha öğrendim.

---

Sifir icin dusunceleriniz nelerdir?

---

Aklıma şu takıldı: Eğer toplamda $3000$ rakam varsa ve her $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ rakamından $300$'er tane bulunuyorsa $3000-9\cdot300=300$ sonucuna ulaşıyoruz. Ama eşit sayıda $0$ olma imkânı durmuyor gibi geliyor. $0,a0,ab0,a0b,a00$ formundaki sayılardan $1+9+9\cdot10+9\cdot10+9\cdot2=198$ sayı çıkıyor. Bu da eğer rakamlar eşit dağıtılmışsa $1$ tanesi diğerlerinden fazla kullanılır demektir. (Belki birden fazla) Rakamlar eşit dağılmıyor mu? 

---

Fakat sayilari $000$, $001$ olarak yazdik. Kitap $1,2,3,\cdots$ diye devam eder diye dusunuyorum. Bu nedenle sifirlari fazladan saymis oluruz.

---

Fazladan koydugumuz sifirlarin sayisi $1\cdot 3+9\cdot 2 +90\cdot 1$.

---

Yukarıdaki yorumda $ab0$ da $b\neq0$ dan saymayı ihmal etmişim evet.

---

Ben şimdi iyisi mi $000,001,\cdots$ diye giden bir kitap bulayım:)

---

Evet 0 la başlayan sayıları çıkarmak gerekir o zamanda yanlış bir sonuç elde ederiz zira cevap 300 

---

Senin sorun icin yazdigim cevapta sorun yok. $1,2,3,\cdots, 999$ olarak giden kitap sayfalarindan $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ sayilari $300$ defa gozukuyor. Geriye kalanlar ise sifirlar ($(1\cdot 9+2\cdot 90+3\cdot900)-9\cdot 300=189$). Bu da sifirlar icin ikinci cozum oldu.

---

Anladim sağolun 

---

Sercan Hocam çözümünüzdeki "...ve herbir ondalık rakam eşit miktarda gözükür" yargısına nasıl ulaştık?

---

Bariz bir cikarim olsa da ilgili soruda ispat olarak sormustum. Oradaki yorumda da belirttigim uzere tumevarim kullanilabilir ya da Ozgur'un cozdugu uzere yer degistirme fonksiyonu.

Answer 2

Her neyse ben atayım önemli olan yöntem çünkü, hatam varsa da sabah yakalarız artık: 

$i)$ $1$'den $9$'a kadar sayılarda $1$ adet 

$ii)$ $10$'dan $99$'a kadar  $55,A5,5a$ formatında sayılar $8\cdot 1+9\cdot 1+2=19$ defa kullanılır. Burada $a$'nin alabileceği farklı değerlerden gittik ve $55$ olan durumu ayırdık çünkü orada $2$ kere kullanılıyor.

$iii)$ $100$'den $999$'a kadar ise $555,a55,5a5,55a,ab5,a5b,5ab$ formatındaki sayılardan yine çarpma ilkesiyle $3+8\cdot 2+9\cdot 2+9\cdot 2+8\cdot 9\cdot1+8\cdot1\cdot9+1\cdot9\cdot9$ $3$ adımı birleştirince $$=160+140=300$$ çıktı.  

Comments

Çok teşekkür ediyorum sorunun cevabına yeni bakabildim çok işime yaradı yöntem.