Processing math: 39%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
561 kez görüntülendi

Z tamsayılar kümesi ve a,kZ olmak üzere a+kZ:={a+kt|tZ} formundaki kümelerle üretilen topolojiye göre Z uzayının regüler olup olmadığını belirleyiniz.

Lisans Matematik kategorisinde (19 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 561 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Z tamsayılar kümesi, a,bZ ve aZ+b:={az+bzZ} olmak üzere

B={aZ+baZ{0},bZ}

ailesi, Z tamsayılar kümesi üzerindeki bir topoloji için bazdır. Bunu göstermek çok kolay olmasa da çok da zor değil. Şunu gözlemlemeye çalışın.

Eğer OBEB(a,c)

ise

(a\cdot \mathbb{Z}+b)\cap (c\cdot \mathbb{Z}+d)=\emptyset

olduğunu ve eğer OBEB(a,c) \mid d-b ise

(a\cdot\mathbb{Z}+b)\cap (c\cdot\mathbb{Z}+d)=OKEK(a,c)\cdot\mathbb{Z}-\max\{\alpha\mid a\mid b+\alpha, c\mid d+\alpha, \alpha \in \mathbb{Z}^-\}

Bunu  anlamak için yanlış hatırlamıyorsam biraz Bezout teoremini karıştırmanız gerekecek. O halde \mathcal{B} ailesinin doğurduğu topoloji \tau =\{\cup \mathcal{B}^*\mid \mathcal{B}^* \subseteq \mathcal{B} \} olacaktır yani topolojinin elemanları \emptyset ve a\cdot\mathbb{Z}+b şeklindeki kümelerin birleşimi şeklinde yazılan kümeler olacaktır.

Gelelim şimdi regüler uzay tanımına:

(X,\tau) \,\ \text{regüler}:\Leftrightarrow (\forall K\in \mathcal{C}(X,\tau))[x\notin K\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(\exists V\in\mathcal{U}(K))(U\cap V=\emptyset)]

Bundan sonrasını size bırakıyorum.

Not: \mathcal{C}(X,\tau):=\{A|(A\subseteq X)(A, \ \tau\text{-kapalı})\}

(11.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,092,539 kullanıcı