Z tamsayılar kümesi, a,b∈Z ve a⋅Z+b:={a⋅z+b∣z∈Z} olmak üzere
B={a⋅Z+b∣a∈Z∖{0},b∈Z}
ailesi, Z tamsayılar kümesi üzerindeki bir topoloji için bazdır. Bunu göstermek çok kolay olmasa da çok da zor değil. Şunu gözlemlemeye çalışın.
Eğer OBEB(a,c)∤
ise
(a\cdot \mathbb{Z}+b)\cap (c\cdot \mathbb{Z}+d)=\emptyset
olduğunu ve eğer OBEB(a,c) \mid d-b ise
(a\cdot\mathbb{Z}+b)\cap (c\cdot\mathbb{Z}+d)=OKEK(a,c)\cdot\mathbb{Z}-\max\{\alpha\mid a\mid b+\alpha, c\mid d+\alpha, \alpha \in \mathbb{Z}^-\}
Bunu anlamak için yanlış hatırlamıyorsam biraz Bezout teoremini karıştırmanız gerekecek. O halde \mathcal{B} ailesinin doğurduğu topoloji \tau =\{\cup \mathcal{B}^*\mid \mathcal{B}^* \subseteq \mathcal{B} \} olacaktır yani topolojinin elemanları \emptyset ve a\cdot\mathbb{Z}+b şeklindeki kümelerin birleşimi şeklinde yazılan kümeler olacaktır.
Gelelim şimdi regüler uzay tanımına:
(X,\tau) \,\ \text{regüler}:\Leftrightarrow (\forall K\in \mathcal{C}(X,\tau))[x\notin K\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(\exists V\in\mathcal{U}(K))(U\cap V=\emptyset)]
Bundan sonrasını size bırakıyorum.
Not: \mathcal{C}(X,\tau):=\{A|(A\subseteq X)(A, \ \tau\text{-kapalı})\}