Question

$\mathbb{Z}$ tamsayılar kümesi ve $a,k\in\mathbb{Z}$ olmak üzere $a+k\mathbb{Z}:=\{a+kt|t\in \mathbb{Z}\}$ formundaki kümelerle üretilen topolojiye göre $\mathbb{Z}$ uzayının regüler olup olmadığını belirleyiniz.

Answer 1

$\mathbb{Z}$ tamsayılar kümesi, $a,b\in\mathbb{Z}$ ve $a\cdot\mathbb{Z}+b:=\{a\cdot z+b\mid z\in \mathbb{Z}\}$ olmak üzere

$$\mathcal{B}=\{a\cdot \mathbb{Z}+b\mid a\in \mathbb{Z}\backslash \{0\},b\in\mathbb{Z}\}$$

ailesi, $\mathbb{Z}$ tamsayılar kümesi üzerindeki bir topoloji için bazdır. Bunu göstermek çok kolay olmasa da çok da zor değil. Şunu gözlemlemeye çalışın.

Eğer  $$OBEB(a,c) \nmid d-b$$

ise

$$(a\cdot \mathbb{Z}+b)\cap (c\cdot \mathbb{Z}+d)=\emptyset$$

olduğunu ve eğer $$OBEB(a,c) \mid d-b$$ ise

$$(a\cdot\mathbb{Z}+b)\cap (c\cdot\mathbb{Z}+d)=OKEK(a,c)\cdot\mathbb{Z}-\max\{\alpha\mid a\mid b+\alpha, c\mid d+\alpha, \alpha \in \mathbb{Z}^-\}$$

Bunu  anlamak için yanlış hatırlamıyorsam biraz Bezout teoremini karıştırmanız gerekecek. O halde $\mathcal{B}$ ailesinin doğurduğu topoloji  $$\tau =\{\cup \mathcal{B}^*\mid \mathcal{B}^* \subseteq \mathcal{B} \}$$ olacaktır yani topolojinin elemanları $$\emptyset$$ ve $$a\cdot\mathbb{Z}+b$$ şeklindeki kümelerin birleşimi şeklinde yazılan kümeler olacaktır.

Gelelim şimdi regüler uzay tanımına:

$$(X,\tau) \,\ \text{regüler}:\Leftrightarrow (\forall K\in \mathcal{C}(X,\tau))[x\notin K\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(\exists V\in\mathcal{U}(K))(U\cap V=\emptyset)]$$

Bundan sonrasını size bırakıyorum.

Not: $\mathcal{C}(X,\tau):=\{A|(A\subseteq X)(A, \ \tau\text{-kapalı})\}$