2.dereceden denklemler

Question

Başkatsayısı $2$ olan, $-2i$ ve $3i$ karmaşık sayılarını kök kabul eden dördüncü dereceden gerçel sayılı $P(x)$ polinomunun sabit terimi kaçtır?

$P(x)=2x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ ve kökler çarpımının 6 olması dışında bir şey gelmedi aklıma. 

Comments

Kökler çarpımı niçin 6?

---

-2i ve 3i yi kök kabul ettiği için yazacaktım da yazarken fark ettim, bunlar kökse eşlenikleri de köktür. Yani kökler çarpımı 36 olur, başkatsayısı 2 olduğundan sabit terim 72 olsun ki 72/2 = 36 kökler çarpımını versin diye bir şey düşündüm, cevap da 72 ama sallamış gibi mi oldum acaba?

---

Doğru.         

---

$P(x)$ polinomu gerçel katsayılı olduğu için eslenikleri de köktür diyebildik. Mesela aynısını gerçel kökler için yapmamız gerektiği zaman da polinomun rasyonel katsayılı yani $P\in\mathbb{Q}(x)$ polinomlarindan olması gerekir.

---

İpucu: $n.$ mertebeden bir polinomun bir kökü $a+ib$ ise bu kökün eşleniği olan $a-ib$ karmaşık sayısı da ilgili polinomun bir kökü olur. Önce bunu göstermeye çalış. Zor değil. Sonrası kolay.

---

teşekkür ederim tüm hocalarıma :)

Answer 1

Kökler $2i$, $-2i$, $3i$, $-3i$.   $$2(x-2i)(x+2i)(x+3i)(x-3i)$$ polinom bu olur.