Dizilerde logaritma kuralı ispatı

Question

$$\dfrac1{n+1} < \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right)< \frac 1n$$ esitsizliginin ispati...

Comments

Sorulari yazarak sormaliyiz. Bunu ben duzenleyecegim fakat bir dahakine siz duzenleyiniz. Ayrica denemelirimizi/emeklerimizi de kesin olarak yazmaliyiz.

---

Tamamdır hocam yeni katıldım da okumamıştım tam olarak kuralları

---

Siz bu konuda neler denediniz?

---

Hocam hepsini e^ olarak yazmayı denedim n ile çarpıp bütün hepsini n.log dan n i üs olarak alıp limit alıp denedim bir çok kaynakta araştırdım bugün cevabı ama tam olarak çözüm bulamadım. En yakın Ahmet Dernek in Analiz 1 kıtabında buna benzer bir kurala değinmiş ispatıyla ilgili bir cevap yazmamıştı kısaca 2 gündür uğraşıyorum pek bir ilerleme kaydedemedim.

---

Sag esitsizlik icin sunu kullanabilirsin. $$\left(1+\frac1n\right)^n$$ dizisi artan bir dizi ve limiti de $e$. Dolayisi ile her $n\ge 1$ tam sayisi icin $$\left(1+\frac1n\right)^n<e$$ saglanir.

---

Bu eşitsizliğin daha genel şekli doğru:

$\forall x>0$ için $\frac{x-1}x\leq \ln x\leq x-1$ olur ve eşitlik sadece $x=1$ iken sağlanır.

($\forall x>0$ için) $\frac{d\ln x}{dx}=\frac1x$ kullanarak veya (eşdeğer olarak) ($\forall x>0$ için) $\int_1^x\frac1t\,dt=\ln x$ kullanarak gösterilebilir.

---

Bunun ötelenmişini video olarak da ispatlamıştım: Bağlantısı Fakat bir üstte yazdığım gibi e'nin limit tanımıyla da bir şekilde çıkar.

---

Tamamdır hocam şuan dersteyim uğraşırım akşam tıkandığım yerde danışırım sizlere sağolun