Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi

$$\dfrac1{n+1} < \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right)< \frac 1n$$ esitsizliginin ispati...

Lisans Matematik kategorisinde (13 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.5k kez görüntülendi

Sorulari yazarak sormaliyiz. Bunu ben duzenleyecegim fakat bir dahakine siz duzenleyiniz. Ayrica denemelirimizi/emeklerimizi de kesin olarak yazmaliyiz.

Tamamdır hocam yeni katıldım da okumamıştım tam olarak kuralları

Siz bu konuda neler denediniz?

Hocam hepsini e^ olarak yazmayı denedim n ile çarpıp bütün hepsini n.log dan n i üs olarak alıp limit alıp denedim bir çok kaynakta araştırdım bugün cevabı ama tam olarak çözüm bulamadım. En yakın Ahmet Dernek in Analiz 1 kıtabında buna benzer bir kurala değinmiş ispatıyla ilgili bir cevap yazmamıştı kısaca 2 gündür uğraşıyorum pek bir ilerleme kaydedemedim.

Sag esitsizlik icin sunu kullanabilirsin. $$\left(1+\frac1n\right)^n$$ dizisi artan bir dizi ve limiti de $e$. Dolayisi ile her $n\ge 1$ tam sayisi icin $$\left(1+\frac1n\right)^n<e$$ saglanir.

Bu eşitsizliğin daha genel şekli doğru:

$\forall x>0$ için $\frac{x-1}x\leq \ln x\leq x-1$ olur ve eşitlik sadece $x=1$ iken sağlanır.

($\forall x>0$ için) $\frac{d\ln x}{dx}=\frac1x$ kullanarak veya (eşdeğer olarak) ($\forall x>0$ için) $\int_1^x\frac1t\,dt=\ln x$ kullanarak gösterilebilir.

Bunun ötelenmişini video olarak da ispatlamıştım: Bağlantısı Fakat bir üstte yazdığım gibi e'nin limit tanımıyla da bir şekilde çıkar.

Tamamdır hocam şuan dersteyim uğraşırım akşam tıkandığım yerde danışırım sizlere sağolun

20,248 soru
21,774 cevap
73,416 yorum
2,145,856 kullanıcı