Question

R ve S iki değişmeli halka ve F, R den S ye bir halka homomorfizması olsun. R bir Boole halkası ve F örten ise S bir Boole halkasıdır. Gösteriniz

Comments

1. $F: R \to S$ orten olsun. Amacimiz $S$'nin Boole halkasi oldugunu gostermek. Her $s$ icin $s^2 = s$ oldugunu gostermek istiyoruz.
2. $s \in S$ alalim. $F$'nin orten olmasini kullanalim. 
3. $R$ Boole halkasi olduguna gore, her $r$ icin $r = r^2$, yani $F(r) = F(r^2) = F(r.r)$. Simdi, $F$'nin halka morfizmasi oldugunu kullanalim.

Yukaridakileri birlestirerek $s^2 = s$ oldugunu nasil gosterirsin?

Answer 1

$s\in S$ ise ortenlikten bir adet $r \in R$ vardir ki $f(r)=s$ olsun.O halde  $s=f(r)=f(r^2)=f(r.r)=f(r)f(r)=s.s=s^2$ yapar.