Bir reel sayının ardışığı bulunabilir mi?

Question

 $x$ herhangi bir reel sayı olsun. $x$ ten küçük en büyük reel sayıya $x$ in önülü, $x$ ten büyük ve en küçük reel sayıya da $x$ 'in ardılı diyelim. Herhangi bir $x$ reel sayısı için, önülü ve ardılı olan sayılar bulunabilir mi? Bu durumun sol ve sağ limit işlemleri ile ilgisi nedir? 

Bilindiği gibi herhangi iki reel sayı arasında daima yeni bir reel sayı vardır. Dolayısıyla bu nitelikte olan iki sayıyı bulamayacağımızı düşünüyorum. Ama sayın hocalarımızın konuya ilişkin değerlendirmelerini merak ediyorum.

Comments

"Bilindiği gibi herhangi iki reel sayı arasında daima yeni bir reel sayı vardır." bu cevabi veriyor, dediginiz gibi.

$a$ gercel sayisi icin $x>a$ degerlerinin en kucugu yok ama infimumu var , o da $a$...

Answer 1

Bulunamayacağını düşünüyorum çünkü:

1-) Bu noktanın bulunuduğunu varsayalım ve Öklit'in 1. postülası yardımıyla birleştirirsek arada kalan bir doğru parçası elde etmiş oluruz. Doğru parçasının da sonsuz noktalardan oluşmuş olması bu iki nokta arasında hâlâ başka noktalar olduğunu gösterir (sizin verdiğiniz cevapla aynı paralellikte). dolayısıyla önerme yanlış olur.

2-)Öklit'i bir kenara bırakalım ve yeniden bu ''a'' noktasının bulunduğunu varsayalım. Hatta ''a'' noktasından sonraki en büyük iki reel sayı da sırasıyla ''b'' ve ''c'' noktaları olsun. En basitinden f(x)=x^2 grafiğini çizmeye çalışalım. Elimizde sadece a,b ve c noktaları var ve bu noktaların fonksiyondaki görüntü değerlerini birleştirdiğimizde elimizde eğrisel değil doğrusal parçacıklardan oluşan bir görüntü oluşur bu da fonksiyonun her noktada türevlenebilir oluşuna ters düşüyor, hatta hiçbir noktası türevlenemez oluyor. Dolayısıyla önerme yanlış oluyor. 

not: Ayrıca matematikte bir ''şey''in(nokta, noktalar kümesi vs.) ne olduğundan çok nasıl olduğu ve nasıl davrandığını bilmenin daha önemli olduğunu düşünüyorum. Çünkü sorunuzdaki ''a'' sayısının bulunabilir olduğunu iddia etmek çok da işimize gelmiyor gibi. Belki de biraz pragmatist yaklaşıyorumdur. 

dipnot: 2 numaralı cevabımı yazarken aklıma Weierstrass fonksiyonu takıldı. Türevlenebilirlik konusunda aydınlatırsanız sevinirim.

  Saygılar;

  Başar Cem Yılmaz